1、8.6 空间直线、平面的垂直8.6.1 直线与直线垂直8.6.2 直线与平面垂直学习目标 1.掌握异面直线所成角的定义，会求两异面直线所成的角.2.掌握直线与直线垂直的定义.3.理解直线与平面垂直的定义.4.理解直线与平面垂直的判定定理.5.理解直线与平面垂直的性质定理，并能够证明.6.能运用判定定理证明直线与平面垂直的简单命题.7.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.重点：异面直线所成的角的定义，直线与直线垂直的定义，直观感知、操作确认,、概括出直线与平面垂直的判定定理、性质定理.难点：求异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定定理的应用、性质定理的证明.一、异面直线的概念(1)定义
2、：不同在平面内的两条直线.(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.任何一个 知识梳理 在同一平面内_不同在任何一个平面内_(3)判断两直线为异面直线的方法 定义法；两直线既不平行也不相交.(4)空间两条直线的三种位置关系 从是否有公共点的角度来分：没有公共点_有且仅有一个公共点_平行 异面 相交 平行 从是否共面的角度来分：相交 异面 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 经过空间任一点O作直线aa，bb 结论 我们把a与b所成的叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围 记异面直线a与b所成的角为，则_ 特殊情况
3、 当_时，a与b互相垂直，记作_ 锐角(或直角)090 90 ab 二、异面直线所成的角定义 如果直线l与平面内的直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直 记法 _ 有关概念 直线l叫做平面的，平面叫做直线l的，它们唯一的公共点P叫做_ 任意一条l 垂线垂面垂足三、直线与平面垂直的定义 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 文字语言 一条直线与一个平面内的都垂直，则该直线与此平面垂直 符号语言 la，lb，a，b，Pl 图形语言 两条相交直线ab四、直线与平面垂直的判定定理 有关概念 对应图形 斜线 与平面，但不和平面，图中_ 斜足 斜线和平面的，图中
4、_ 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引，过_和的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面上的射影为_ 相交垂直直线PA垂线斜足垂足直线AO交点点A五、直线与平面所成的角 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中_ 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是_ 取值范围 设直线与平面所成的角为，_ PAO900090文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_ 符号语言 ab 图形语言 平行ab六、直线与平面垂直的性质定理 例1 一 异面直线所成的角 常考题型 2019上海浦东新区一模如图，已知在直三棱柱A1B
5、1C1-ABC中，ABACAA11，BAC90.（1）求异面直线A1B与B1C1所成角的大小；（2）求点B1到平面A1BC的距离.【解】（1）因为AA1AB，AA1AC，ABACAA11，BAC90，所以A1BA1CBC2，所以A1BC60.由题意知BCB1C1，所以A1BC为异面直线A1B与B1C1所成的角或补角.由图易知两异面直线所成角为锐角，所以异面直线A1B与B1C1所成的角为60.（2）设点B1到平面A1BC的距离为h，由（1）得1ABCS12 2 2 sin 6032，1 1A B BS12 1112.因为11BA BCV1 1C A B BV，即 131A BCSh131 1A
6、B BSCA，解得h33.所以点B1到平面A1BC的距离为33.训练题2019福建漳州高三二模已知在正四面体A-BCD中，M为AB的中点，则直线CM与AD所成角的余弦值为（）A.12B.23 C.36 D.232019山东济南外国语学校高一检测如图，在空间四边形ABCD中，ADBC2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF 3，求异面直线AD，BC所成角的大小.1.2.C解：如图，取BD的中点M，连接EM，FM.因为E，F，M分别是AB，CD，BD的中点，所以EMAD，且EM 12 AD，FMBC，且FM 12 BC，则EMF或其补角就是异面直线AD，BC所成的角.因为ADBC2，所以EMMF1
7、.在等腰MEF中，过点M作MHEF于点H，在RtMHE中，EM1，EH 12 EF32，则sinEMH32，所以EMH60，则EMF2EMH120.所以异面直线AD，BC所成的角为EMF的补角，即异面直线AD，BC所成的角为60.3.2019安徽六安月考如图所示，四面体A-BCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形.（1）求证：CD平面EFGH；（2）求异面直线AB，CD所成的角.（1）证明：截面EFGH是一个矩形，EFGH.又GH 平面BCD，EF平面BCD.而EF 平面ACD，平面ACD平面BCDCD，EFCD，CD平面EFGH.（2）解：由（1）知EFCD.同理ABFG.由异面直线所成角
8、的定义知，EFG即为所求的角.截面EFGH是一个矩形，EFG90，异面直线AB，CD所成的角为90.二 直线与平面垂直的判定定理及应用例2 2019山东潍坊高一检测 在ABC中，ABC90，D是AC的中点，S是ABC所在平面外一点，且SASBSC.（1）求证：SD平面ABC；（2）若ABBC，求证：BD平面SAC.【证明】（1）如图，SASC，D为AC的中点，SDAC.连接BD，在RtABC中，有ADDCDB.SASB，SD为公共边，SDBSDA，SDBSDA90，SDBD.又ACBDD，SD平面ABC.（2）ABBC，D是AC的中点，BDAC.又由（1）知SDBD，且ACSDD，BD平面SA
9、C.训练题1.2019广东湛江高一联考如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC1，AA12，B1A1C190，D为BB1的中点.求证：AD平面A1DC1.证明：AA1平面ABC，平面A1B1C1平面ABC，AA1平面A1B1C1，A1C1AA1.B1A1C190，A1C1A1B1.A1B1AA1A1，A1C1平面AA1B1B.AD平面AA1B1B，A1C1AD.AA12，由已知计算得AD2，A1D2，AD2+A1D2AA12，A1DAD.A1C1A1DA1，AD平面A1DC1.2.2019山西晋中榆次二中高一期末如图，已知E是正方形ABCD边AD的中点，现将AB
10、E沿BE所在直线翻折到图中ABE的位置，使ACBC，并连接AC，AD.（1）求证：DE平面ABC.（2）求证：AE平面ABC.证明：（1）在正方形ABCD中，DEBC，DE平面ABC，BC平面ABC，DE平面ABC.（2）设正方形ABCD的边长为a，连接EC，如图.在ACE中，AE 2a，EC52a，ACa，AE2+AC2EC2，AEAC.又AEAB，且ABACA，AB平面ABC，AC平面ABC，AE平面ABC.例3 三 求直线与平面所成的角2019浙江杭州高一联考如图，在三棱台ABC-DEF中，ACCF，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.（1）求证：BF平面ACFD.（2）求直线B
11、D与平面ACFD所成角的余弦值.（1）【证明】延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.因为ACCF，ACBC，所以AC平面BCFE，所以BFAC.由EFBC，BEEFFC1，BC2，易得BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK.因为ACCKC，AC 平面ACFD，CK 平面ACFD，所以BF平面ACFD.（2）【解】因为BF平面ACFD，所以BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.在RtBFD中，易知BF 3，DF32，得cosBDF217，所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为217.训练题2019安徽铜陵高一联考如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的
12、中点.求直线BE与平面ABB1A1所成角的正弦值.解：如图，取AA1的中点M，连接EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EMAD.因为在正方 体ABCD-A1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，所以EM平面ABB1A1，所以EMBM，从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影，EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角.设正方体的棱长为2，则EMAD2，BE222221 3，于是在RtBEM中，sinEBM EMBE 23，即直线BE与平面ABB1A1所成角的正弦值为 23.四 线面垂直性质定理的应用例4 2019 河 北 张 家 口 高 一 联 考 如 图
13、所 示，在 正 方 体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC.求证：（1）MNAD1；（2）M是AB的中点.【证明】（1）四边形ADD1A1为正方形，AD1A1D.CD平面ADD1A1，CDAD1.A1DCDD，AD1平面A1DC.又 MN平面A1DC，MNAD1.（2）如图8-6-10，设A1D与AD1交于点O，连接ON，在A1DC中，A1OOD，A1NNC，ON平行且相等 12 DC平行且相等 12 AB，ONAM.又 MNOA，四边形AMNO为平行四边形，ONAM.ON 12 AB，AM 12 AB，M是AB的中点.训练题在正方体 ABCD-A1
14、B1C1D1中，点 E，F 分别在 A1D，AC 上，EFA1D，EFAC，求证：EFBD1.证明：如图所示，连接A1C1，C1D，B1D1，BD.ACA1C1，EFAC，EFA1C1.又EFA1D，A1DA1C1A1，EF平面A1C1D.BB1平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，BB1A1C1.四边形A1B1C1D1为正方形，A1C1平面BB1D1D.而BD1平面BB1D1D，A1C1BD1.同理DC1BD1.又DC1A1C1C1，BD1平面A1C1D.由可知EFBD1.1.直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义.(2)利用线面垂直的判定定理.(3)利用下面两个结论：若ab，a，则b；若，a，则a.规律与方法 小结 2.线线垂直的判定方法：(1)异面直线所成的角是90.(2)线面垂直，则线线垂直.3.求线面角的常用方法：(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算).(2)转移法(找过点与面平行的线或面).(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法).
