1、模块综合检测1.已知矩阵M，求矩阵M的特征值与特征向量.【解】矩阵M的特征多项式为f()232，令f()0，解得11，22，将11代入二元一次方程组解得x0，所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为；同理，矩阵M属于特征值2的一个特征向量为.2.已知在二阶矩阵M对应变换的作用下，四边形ABCD变成四边形ABCD，其中A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，A(3，3)，B(1，1)，D(1，1).(1)求出矩阵M；(2)确定点D及点C的坐标. 【导学号：30650064】【解】设M，则有，所以解得所以M.(2)由，得C(3，3).由，得D(1，1).3.设曲线2x22xyy21在矩阵A(a0)
2、对应的变换作用下得到的曲线为x2y21.求实数a，b的值；求A2的逆矩阵.【解】设曲线2x22xyy21上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P(x，y).由，得又点P(x，y)在x2y21上，所以x2y21，即a2x2(bxy)21，整理得(a2b2)x22bxyy21.依题意得解得或因为a1，所以由知，A，A2.所以|A2|1，(A2)1.4.已知矩阵A，矩阵B的逆矩阵B1，求矩阵AB.【解】设B，则B1B，即，故解得所以B.因此，AB.5.曲线x24xy2y21在二阶矩阵M的作用下变换为曲线x22y21.(1)求实数a，b的值；(2)求M的逆矩阵M1.【解】(1)设P(x，y
3、)为曲线x22y21上任意一点，P(x，y)为曲线x24xy2y21上与P对应的点，则，即代入得(xay)22(bxy)21，即得(12b2)x2(2a4b)xy(a22)y21，及方程x24xy2y21，从而解得a2，b0.(2)因为M的行列式为10，M1.6.已知矩阵M，向量，求M3的值.【解】矩阵M的特征多项式f()(1)(3)(2)228(2)(4).令f()0，解得14，22.从而求得属于特征值14的一个特征向量为，属于22的一个特征向量为.令mn，则m，n，即，所以M343(2)3.7.如果曲线x24xy3y21在矩阵的作用下变换得到曲线x2y21，求ab.【解】在曲线x24xy3
4、y21上任取一点P(x，y)，设点P(x，y)在矩阵的作用下变换得到点P(x，y)，则，所以则(xay)2(bxy)21，化简得(1b2)x22(ab)xy(a21)y21，从而解得所以ab2.8.密码学是关于信息编码和解码的理论，其中经常用到矩阵知识，首先建立如下对应关系：ABCYZ 12 32526取矩阵A.(1)将Good进行编码；(2)将93，36，60，21恢复成原来的信息.【解】(1)Good的编码为7，15，15，4.(2)det(A)51321，A1，把接收到的密码按顺序分成两组并写成列向量，可得A1，A1.密码恢复成编码15，6，3，15，即得到原来的信息OFCO.9.已知矩
5、阵M，.(1)求M的特征值和特征向量；(2)计算M4，M10，M100；(3)从第(2)小题的计算中，你发现了什么？ 【导学号：30650065】【解】(1)矩阵M的特征多项式f()(1)(2).令f()0，得11，22.属于11的一个特征向量1，属于22的一个特征向量2.(2)令m1n2，则有mn，m2，n1，即212.M4M4(212)2M41M4221221424，同理可得M10，M100.(3)当n时，可近似认为MnMn(212)Mn22n.10.自然界生物种群的成长受到多种因素的影响，如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等.因此，它们和周边环境是一种既相生，又相克的生存关系.但是如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾.现假设两个互相影响的种群X，Y随时间段变化的数量分别为an，bn，并有关系式其中a11，b17，试分析10个时段后，这两个种群的数量变化趋势.【解】由题意知，令M，则f()(1)(4).令f()0，解得11，24，对应的一个特征向量分别为，.设，则3(2)，则M103410(2)110.照此发展下去，两个种群的数量趋于均衡.