1、第二章数列2.3等差数列的前n项和2.3等差数列的前n项和(第1课时)学习目标掌握等差数列前n项和的公式,并能运用公式解决简单的问题.了解等差数列前n项和的定义,了解倒序相加的原理,理解等差数列前n项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;用方程思想认识等差数列前n项和的公式,利用公式求Sn,a1,d,n;等差数列通项公式与前n项和的公式共涉及五个量,已知其中三个量可求另两个量;会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值.合作学习一、设计问题,创设情境1.一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔?问
2、题就是这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.这实际上是一个求等差数列前100项和的问题,高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050.高斯算法将加法运算转化为乘法运算,迅速准确的得到了结果.我们要求一般的等差数列的前几项和,高斯算法对我们有何启发?二、信息交流,揭示规律2.公式推导设等差数列an的首项为a1,公差为d,Sn=a1+a2+a3+an=?,由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.思路一:运用
3、基本量思想,将各项用a1和d表示,得Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+a1+(n-2)d+a1+(n-1)d,有以下等式a1+a1+(n-1)d=(a1+d)+a1+(n-2)d=(a1+2d)+a1+(n-3)d=,问题是一共有多少个,似乎与n的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.思路二:上面的等式其实就是a1+an=a2+an-1=a3+an-2=,为回避个数问题,做一个改写Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an,Sn=an+an-1+an-2+a3+a2+a1,两式左右分别相加,得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(an-2
4、+a3)+(an-1+a2)+(an+a1),2Sn=n(a1+an)于是有.这就是倒序相加法.思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得2Sn=na1+a1+(n-1)d,于是Sn=na1+d.综合思路二和思路三得到了两个公式:和.三、运用规律,解决问题3.求和:(1)101+100+99+98+97+64;(2)2+4+6+8+2n(结果用n表示).4.等差数列2,4,6,中前多少项的和是9900?5.2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的通知.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,20
5、01年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?四、变式训练,深化提高6.等差数列an的前n项和为Sn,已知S3=6,a4=8,求公差d.7.设Sn为等差数列an的前n项和,若满足an=an-1+2(n2),且S3=9,求首项a1.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.“1+2+3+4+100=?”二、信息交流,揭示规律2.a1+a1+(n-1)dSn=Sn=Sn=na1+d三、运用规律,解决问题3.解:(1)101,100,99,98,9
6、7,64可以看做是一个首项为101,公差为-1的等差数列,由等差数列的通项公式,可得64=101+(n-1)(-1),解得n=38,于是Sn=3135.另外也可用公式Sn=na1+d来求解,Sn=38101+(-1)=3135.(2)2+4+6+8+2n可以看做是等差数列2n的前n项和,则Sn=n2+n,另外可运用公式Sn=na1+d来求解.4.解:由题知,等差数列首项a1=2,公差d=2,由Sn=na1+d,得2n+2=9900,即n2+n-9900=0,解得n=-100(舍去),或n=99,所以等差数列2,4,6,中的前99项的和是9900.5.解:根据题意,从20012010年,该市每年
7、投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以,可以建立一个等差数列an,表示从2001年起各年投入的资金,其中a1=500,d=50.那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为S10=10500+50=7250(万元)答:从20012010年,该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.四、变式训练,深化提高6.解:等差数列an的前n项和为Sn,S3=6,即a1+a2+a3=6a2=2.a4=8,8=2+2d,d=3.7.解:an=an-1+2(n2),an-an-1=2(n2),等差数列an的公差是2.由S3=3a1+2,即3a1+6=9,解得a1=1.五、反思小结,观点提炼略
