1、第二章平面向量本章小结学习目标1.理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念.2.了解平面向量基本定理.3.向量加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾相接).4.了解实数与向量的乘法(即数乘的意义).5.向量的坐标概念和坐标表示法.6.向量的坐标运算(加、减、实数和向量的乘法、数量积).7.数量积(点乘或内积)的概念,ab=|a|b|cos=x1x2+y1y2,注意区别“实数与向量的乘法、向量与向量的乘法”.合作学习一、设计问题,创设情境下列命题中,正确命题的个数为()若a与b是非零向量,且a与b共线时,则a+b必与a或b中之一方向相同;若e
2、为单位向量,且ae,则a=|a|e;aaa=|a|3;若a与b共线,a与c共线,则c与b共线.若平面内四点A,B,C,D,必有.A.1B.2C.3D.4二、信息交流,揭示规律问题1:平面向量全章的知识结构是怎样的?问题2:以平面向量为工具可以解决哪些运算问题?问题3:以平面向量为工具可以解决那些位置关系问题?问题4:以平面向量为工具可以解决哪些度量关系问题?三、运用规律,解决问题【例1】化简:(1)()+;(2).【例2】已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?【例3】设=2(a+5b),=-2a+8b,=3(a-b),求证:A,B
3、,D 三点共线. 【例4】对于任意非零向量a与b,求证:|a|-|b|ab|a|+|b|.【例5】下面5个命题:|ab|=|a|b|;(ab)2=a2b2;a(b-c),则ac=ab;ab=0,则|a+b|=|a-b|;ab=0,则a=0或b=0,其中真命题是()A.B.C.D.【例6】设平面内的向量=(1,7),=(5,1),=(2,1),点P是直线上的一个动点,求当取最小值时,的坐标及APB的余弦值.四、变式演练,深化提高1.n为何值时,向量a=(n,1)与b=(4,n)共线且方向相同?2.已知a=(1,0),b=(1,1),c=(-1,0),求和,使c=a +b.五、反思小结,观点提炼请
4、同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?(经过学生短暂梳理,小组发言)1.2.布置作业课本P118复习参考题A组第2,3,5题.参考答案一、设计问题,创设情境对于,若和向量是零向量,不成立;对于,若e与a反向,则不成立;对于,结合律不成立;对于,若b是零向量,则不成立;根据向量分解的知识容易知道,只有正确,故答案选A二、信息交流,揭示规律问题1:问题2:基本运算:实数与向量的积的运算律:(1)(a)=()a;(2)(+)a=a+a;(3)(a+b)=a+b.平面向量数量积的运算律:(1)ab=ba;(2)(a)b=(ab)=a(b);(3)(a+b)c=
5、ac+bc.问题3:向量运算及平行与垂直的判定:设a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b0).则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),ab=x1x2+y1y2.abx1y2-x2y1=0.abx1x2+y1y2=0. 问题4:夹角公式:cos= .求模:|a|=,|a|=,|a|=.三、运用规律,解决问题【例1】解:(1)()+=.(2)=-()=0-=.【例2】解:由ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),当它们平行时得k=-,此时它们反向.【例3】证明:因为=a+5b=,所以A,B,D三点共线.【例4】证明:(1)两个非零向量a与b不
6、共线时,a+b的方向与a,b的方向都不同,并且|a|-|b|ab|b|,则|a+b|=|a|-|b|.同理可证另一种情况也成立.【例5】解析:由数量积的定义知道,不正确.对于,当两个向量垂直时,数量积为零,但是两个向量可以不是零向量,所以不正确.答案:B【例6】解:设=(x,y),点P在直线OM上,共线,而=(2,1),x-2y=0即x=2y,有=(2y,y).=(1-2y,7-y),=(5-2y,1-y),=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8. 从而,当且仅当y=2,x=4时,取得最小值-8,此时=(4,2),=(-3,5),=(1,-1).于是|=,|=(-3)1+5(-1)=-8,cosAPB=- .四、变式演练,深化提高1.解:由向量共线的等价条件知道n=2.2.解:由(-1,0)=(1,0)+(1,1)=(+,),得=-1,=0.五、反思小结,观点提炼1.平面向量的基本概念.2.平面向量的位置关系与度量关系.