1、9.2 正弦定理与余弦定理的应用 第九章 解三角形 重点：掌握解测量问题的一般方法.难点：根据实际问题建立数学模型.1.了解实际问题中所涉及的名词和一些术语.2.会建立实际问题的三角形模型，并能运用正弦定理或余弦定理 解决有关距离、高度、角度等实际问题.学习目标 知识梳理 一、与测量有关的角的术语1.方位角与方向角（1）从正北方向顺时针转到目标方向线的最小角叫方位角，如图Z-2-1，目标A的方位角为135.（2）从指定方向线到目标方向线所成的小于90的角叫方向角.如图Z-2-2，目标A的方向角为北偏东30，目标B的方向角为南偏东45.图 Z-2-1 图 Z-2-2 一、与测量有关的角的术语3.
2、坡角与坡度 坡面与水平面的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度，坡度 hl，如图Z-2-4.2.仰角与俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角叫仰角.视线在水平线下方时与水平线的夹角叫俯角（如图Z-2-1所示）.图 Z-2-13 图 Z-2-4 二、正、余弦定理在实际生活中的应用1.利用正、余弦定理求解实际问题的思路 解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或多个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题.2.几种常见题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题等.3.解题时需注意的几个问题（
3、1）要注意仰角、俯角、方位角、方向角等概念，并能准确地找出（或作出）这些角；（2）要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解题.常考题型 一、解三角形在实际问题中的应用 1.测量距离问题 例1 2019四川乐山十校高一期中联考 某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点，如图，它们相距5（3+3）海里.现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45、B点北偏西60，这时，位于B点南偏西60且与B点相距20 3海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/时.（1）求B点到D点的距离BD；（2）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援
4、船到达D点需要的时间.【解题提示】（1）在DAB中利用正弦定理，求出BD；（2）在DCB中，利用余弦定理求出CD，根据速度求出时间.【解】（1）由题意知AB5（3+3）海里，DBA90-6030，DAB90-4545，ADB180-（45+30）105.在DAB中，由正弦定理得 sinBDDABABsin ADB，BD AB sin DABsin ADB 5(33)45105sinsin5(33)4545604560sinsincoscossin 5 3(31)31210 3（海里）.（2）在DBC中，DBCDBA+ABC30+（90-60）60，BC20 3海里，由余弦定理得CD2BD2+B
5、C2-2BDBCcos DBC300+1 200-210 320 3 12 900，CD30（海里），则需要的时间t 3030 1（小时）.答：救援船到达D点需要1小时.如图，甲船在湖中B岛的正南A处，AB3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船自B岛出发，以12 km/h的速度向北偏东60方向驶去，行驶15 min时，甲船到达M点，乙船到达N点，则两船的距离MN是（）A.7 km B.13 km C.19 km D.103 3 km 1-1【解析】由题意知，AM81560 2（km），BN12 1560 3（km），MBAB-AM3-21（km），所以由余弦定理得MN2MB
6、2+BN2-2MBBNcos 1201+9-21312 13，所以MN 13 km.【答案】B 解三角形应用题的一般步骤 1.审题：弄清问题的实际背景，明确已知与未知，量与量之间的关系，画出示意图.2.建模：将实际问题抽象成解三角形问题的模型.3.解模：选择正弦定理或余弦定理求解.4.还原：将三角形问题还原为实际问题.测量距离问题的基本模型及解法 1.距离问题的解题思路：在航海、航空和日常生活中，少不了比较距离的远近或距离大小的测量等问题，这些问题的解决，首先是要利用特定工具测出所构造三角形的有关的边和角，再利用正、余弦定理解三角形求相应的距离来实现.模型1：测量一条河两侧两点之间的距离，设A
7、（可达），B（不可达）是地面上两点，测量者在A点的附近选定一点C，测出AC的距离为a m，A，C.求A，B两点间的距离.在ABC中，由正弦定理，得 ABsinC ACsinB，AB ACsinCsinB(180)asinsin()asinsin.测量距离问题的基本模型及解法 2.三个基本模型及解法：模型2：在河的一侧测量河的另一侧的两点之间的距离，或者利用两个观测点测量航行中的两艘轮船之间的距离等.设A，B是两点（可视不可达），测量者选定两点C，D（可达），测出CD的距离a及ACD，BCD，BDC，ADC.求A，B两点间的距离.在ACD中，利用正弦定理求AC；在DBC中，利用正弦定理求BC；在
8、ABC中，利用余弦定理求AB.测量距离问题的基本模型及解法 2.三个基本模型及解法：模型3：测量的两个点A，B之间不可视也不可达，求AB，如隧道问题等.另选一点C，测得ACb，BCa及C度数，则由余弦定理得AB 222ababcosC.测量距离问题的基本模型及解法 2.三个基本模型及解法：2.测量高度问题 例2 2019江苏扬州高一期末 如图，某数学学习小组要测量地面上一建筑物CD的高度（建筑物CD垂直于地面），设计测量方案为先在地面选定A，B两点，其距离为100米，然后在A处测得DAB60，在B处测得DBA75，DBC30，则建筑物CD的高度为 米.【解析】由题意知，ADB180-60-75
9、45.在ABD中，由正弦定理可得，ABsin BDABDsin DAB，即BD ABsin DABsin BDA1006045sinsin 50 6（米）.在RtBCD中，CDBDsinDBC50 6sin 30 25 6（米）.【答案】25 62019天津高三模拟 如图，在离地面高200 m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15，山脚A处的俯角为45，已知BAC60，则山的高度BC为 m.1-2【解析】由题意，在RtADM中，MAD45，MD200 m，故AM45MDsin 200 2（m）.在MAC中，AMC45+1560，MAC180-60-4575，MCA180-60-7545.在AM
10、C中，由正弦定理得AC 200 26045sinsin200 3（m），在RtABC中，BCACsinBAC200 332 300（m）.【答案】300 测量高度问题的解法 1.在军事、航空、天文、地理测量以及日常生活中，经常需要测量一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度，这些物体的高度一般不能直接用解直角三角形的方法解决，常常用正弦定理或余弦定理计算出建筑物等物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题.2.两个基本模型及解法：（模型1）点B与C，D共线（求AB）.测得CDa及C与ADB的度数.先用正弦定理求出AC与AD，再解直角三角形得AB的值.（模型2）
11、点B与C，D不共线（求AB）.测得CDa及BCD，BDC，ACB的度数.在BCD中由正弦定理 求得BC，再解直角三角形得AB的值.2.测量角度问题 例3如图，为了了解某海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量.已知AB50 m，BC120 m，于A处测得水深AD80 m，于B处测得水深BE200 m，于C处测得水深CF110 m，求DEF的余弦值.【解题提示】把DEF放到DEF中利用余弦定理求解，因此关键是求出该三角形的三边的长度.【解】如图9-2-7所示，过点D作DMAC交BE于点N，交CF于点M，过点F作FHAC交BE于点H.由题中所给数据得，DF22MFDM22301
12、7010 298（m），DE22DNEN2250120130（m），EF22EHFH2290120150（m）.在DEF中，由余弦定理，得 cosDEF2222DEEFDFDE EF222130150102982 130 150 1665，所以DEF的余弦值为 1665.【点评】本题是一个角度测量问题，放置在一个海底测量的背景中，需要根据图形的几何特征，构造相应的三角形，在构造的三角形中找出相关的边长即可求出目标角度的余弦值.如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100 m后到达点B，又从点B测得斜度为45，假设建筑物高50 m，求此山坡对于地
13、平面的斜度的余弦值.1-3【解】在BCD中，BDC+90，由正弦定理，得BC9045CDsinsin 50 2 cos .在ABC中，ACB30，由正弦定理，得30ABsin 15BCsin，BC200sin 15.cos 2001550 2sin 3-1.测量角度问题的解法 1.测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.2.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解.【解】（
14、方案1）如图（1），在地面上引一条基线AB，这条基线和塔底在同一水平面上，且延长后不过塔底，测出AB的长及角，和A对塔顶P的仰角 的大小，则可求出铁塔PO的高度.计算方法如下：在ABO中，由正弦定理，得AOsinsin(180)ABsinsin()AB，在RtPAO中，POAOtan ，则POsintansin()AB.（1）二、方案设计问题 例4如果要测量某个底部不能到达的铁塔的高度，在只能使用简单测量工具的前提下，可以设计出哪些测量方案？并提供出每种方案的计算公式.（方案2）如图（2），在地面上引一条基线AB，并使A，B，O三点在同一条直线上，测出AB的长和A，B分别对塔顶P的仰角，则可求
15、出铁塔PO的高度.计算方法如下：在PAB中，由正弦定理，得PAsinsin()AB.在RtPAO中，POPAsin ，则POsinsinsin()AB.（2）（方案3）如图（3），在地面上引一条基线AB，且使AB不过点O，测出AB的长，点O对AB的视角，A，B分别对塔顶P的仰角，则可求出塔高PO.计算方法如下：在RtPOA中，AO tanPO，在RtPOB中，BO tanPO，在AOB中，由余弦定理，得 OA2+OB2-2OAOBcos AB2，PO22tantantantan2tantancosAB.（3）如图所示，A，B两地之间有一建筑物P和一座小山坡Q，经实地观察发现，北面有大山，而南面
16、在四边形ABNM范围内地势平坦，但有建筑物R，试设计A，B之间距离的测量计算方案.2-1【解】答案不唯一，下面举出两种方案.（方案1）可以建立一个三角形.在P，Q，R之间的位置选一点C，测出BC，AC的长及ACB，由余弦定理，得AB222cosACBCAC BCACB.（方案2）在直线AB上选一点C，使建筑物R的底部在MCN的内部，不影响视线，在AMC中，测出AM，CM的长及AMC的度数，则AC222cosAMCMAM CMAMC.在BNC中，测出BN，CN的长及BNC的度数，则BC222cosBNCNBN CNBNC.于是ABAC+BC.方案设计问题的解题思路 1.依据测量目标和实际情境及测量工具等实际设计合理的方案；2.决定收集和测量哪些信息及数据；3.对所设计的方案进行推理运算和改进.注意事项：1.实际测量往往受地形、地貌、测量工具等条件的制约，因此设计的方案要切实可行；2.测量要符合题目与实际要求；3.计算要做到算法简捷，计算准确.小结 两个知识点：1.测量中一些常用术语；2.应用正、余弦定理解决实际问题.两种题型：1.正、余弦定理的实际应用问题；2.方案设计问题；
