1、20152016学年度第二学期期中考试高二数学试题（理科）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1本试卷共4页，均为非选择题（第1题第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。一填空题：本大题共
2、14小题，每小题5分，共计70分，不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题纸的相应位置上1复数（是虚数单位）的虚部为_答案：1解析：考查复数的概念解析：反证法中假设的内容应是原命题的否定2. 若，则的值为_答案：1 3用反证法证明“已知，证明：”假设的内容应是_答案：解析：（选修2-3课本第24页习题1.3第1题）由或得或4两张卡片的正、反两面分别写有；，将这两张卡片排成一排，可以构成_个不同的两位数答案：8解析：5用数学归纳法证明，第一步要证的不等式是_答案：解析：选修2-2课本第89页例2改编6现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个
3、的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部公的体积恒为_答案：解析：如图，易证OABOCD，则两个正方形重叠部分的面积为S，类比到正方体，两个重叠部分的体积V.7.在(x2)5展开式中，常数项为_答案：解析：，当时，8.观察下列各式：，则_答案：2n-19设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填写序号)答案：解析：若a，b，则ab1，但a1，b2，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，即ab2，则a，b
4、中至少有一个大于1，反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.10将甲、乙、丙、丁四名实习老师分到三个不同的班，要求每个班至少分到一名老师，且甲、乙两名老师不能分到同一个班，则不同分法的种数为_（用数字作答）答案：30解析：法一：分成两种情况，甲和丙丁中的一人被分到同一个班或乙和丙丁中的一人被分到同一个班共有2CA24种分法；丙和丁两人被分到同一个班共有A6种分法于是所求的分法总数为24630.法二：将4名老师分到3个不同的班，有CCA，甲、乙两名老师分到同一个班有CA.满足要求的分法有CCACA30.11.已知21010a (0a11)能被11整
5、除，则实数a的值为_答案：9解析：（选修2-3课本第35页例2改编）根据题意，由于21010a2(111)10a，由于21010a(0a11)能被11整除，根据二项式定理展开式可知，2(111)10被11除的余数为2，从而可知2a能被11整除，可知a9.12将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有 种(用数字作答)答案：480解析：先选出3个位置安排A，B，C，再将D，E，F全排列：CCAA480.13已知f(x)(1x)m(12x)n (m，nN*)的展开式中x的系数为11，当x2的系数取得最小值时，f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和为_答案：30
6、解析由已知得C2C11，m2n11，x2的系数为C22C2n(n1)(11m)2.mN*，m5时，x2的系数取得最小值22，此时n3.f(x)(1x)5(12x)3.设这时f(x)的展开式为f(x)a0a1xa2x2a5x5令x1，a0a1a2a3a4a52533，令x1，a0a1a2a3a4a51，两式相减得2(a1a3a5)60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.14用红、黄、蓝等种颜色给如下图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为 (用数字作答)答案：解析：整体采用分类原理，局部采用分步原理第一类：涂两个红色圆 第二类：涂三个
7、红色圆 故共有种涂色方案二解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步奏15（本题满分14分）已知复数是纯虚数（1）求实数的值；（2）若，求复数（选修2-2课本第112页练习第4题改编）解：（1）由题意得 6分 解得m0 8分（2）当m0时， 由，即 得 10分 14分16（本题满分14分）若展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x的一次幂的项；(2)展开式中的所有有理项解：(1)由已知可得CC2C，2分解得n8或n1(舍去) 4分， 6分令4k1，得k4.所以x的一次项为T5C24xx. 7分(2) 令4kZ，且0k8，则k
8、0,4,8.8分 所以含x的有理项分别为T1x4，T5x，T9. （每一项2分） 14分17（本题满分14分）若abcd0且adbc，求证：.证明：要证只要证()2()2 2分只要证ad2bc24分因为adbc只要证只要证adbc 6分只要证 8分只要证只要证10分只要证 12分因为，所以上式显然成立故原不等式成立 14分18（本题满分16分）有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内(1)若恰有1个盒子不放球，求不同放法的种数；(2)若恰有2个盒子不放球，求不同放法的种数解：(1) 先选出放球的三个盒子，共种选法；2分再把4个球分成2,1,1的三组，共种分法；4分最后将三个盒子和三组
9、球全排列，共排法，6分由分步计数原理，共有种不同放法 8分(2)先选出放球的两个盒子，共种选法；10分再将4个球放入选中的两个盒子，共有种放法，14分由分步与分类计数原理，共有种不同放法16分19（本题满分16分）对于定义域为的函数，如果满足存在区间使得在区间上的值域为，那么函数叫做上的“级矩形”函数（1）设函数是上的“级矩形”函数，求常数的值；（2）证明：函数不是“级矩形”函数解：（1）因为是“级矩形”函数，所以在区间上的值域也为 2分又因为在上单调递增，所以，即为方程的两个不等实数根 4分由知，又因为 6分所以 8分（2）证明：假设函数是“级矩形”函数 即存在区间，使得的值域为 10分易知在单调递减，所以，即 12分因为，所以 两式相除得：，即，得，14分与相矛盾所以假设不成立，原命题成立 16分20（本题满分16分）已知函数，其中，记为的导函数，求；猜想的解析式并证明解： 2分 4分 6分归纳： 猜想：， 8分 证明：当时，结论成立； 10分假设时，结论成立，即 12分 当时 + 14分 +所以当时，结论也成立由可知，当时， 16分