1、潍坊市2018-2019学年下学期期中测试高二数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.将2封信随意投入3个邮箱，不同的投法有（ ）A. 3种B. 6种C. 8种D. 9种【答案】D【解析】【分析】确定每封信的投法种数，根据分步乘法计数原理得到结果.【详解】每封信都有种选择，则投法共有种本题正确选项：【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，属于基础题.2.已知函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将代入解析式即可得到结果.【详解】由题意知：本题正确选项：【点睛】本题考查函数值的求解问题，属于基础题.3.设随机变量，则（ ）A. B. C.
2、 D. 3【答案】B【解析】【分析】根据二项分布方差公式求得结果.【详解】 本题正确选项：【点睛】本题考查二项分布中方差的求解，属于基础题.4.已知，则等于（ ）A. 1B. 4C. 1或3D. 3或4【答案】C【解析】【分析】根据组合数的性质即可得到方程，解方程求得结果.【详解】由得：或解得：或本题正确选项：【点睛】本题考查组合数性质的应用，属于基础题.5.两名男生和两名女生随机站成一排照相，则两名男生相邻的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用捆绑法求出两名男生相邻的情况种数，再根据古典概型求得结果.【详解】两名男生相邻的情况共有：种则两名男生相邻的概率本题正确
3、选项：【点睛】本题考查古典概型求解概率问题，关键是利用捆绑法求出符合要求情况种数.6.已知函数的图象如图所示，则它的导函数的图象可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数单调性与其导函数正负的关系可排除；根据极值点个数可得导函数变号零点个数，可排除.【详解】当时，单调递增，此时；可排除当时，有两个极值点，即在上有两个变号零点，可排除本题正确选项：【点睛】本题考查函数图象与导函数图象之间的关系，关键是能够明确函数单调性、极值与导函数的正负、零点之间的关系.7.某机构为研究学生玩电脑游戏和对待作业量态度的关系，随机抽取了100名学生进行调查，所得数据如下表所示： 认为作
4、业多认为作业不多总计喜欢玩电脑游戏251540不喜欢玩电脑游戏253560总计5050100（参考公式，可能用到数据：，），参照以上公式和数据，得到的正确结论是（ ）A. 有把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度有关B. 有的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度无关C. 有的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度有关D. 有的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度无关【答案】A【解析】【分析】根据公式计算得到；根据独立性检验思想可求得结果.【详解】由题意得：有的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度有关本题正确选项：【点睛】本题考查独立性检验思想的应用，属于基础题.8.袋中有三个红
5、球，两个蓝球，现每次摸出一个球，不放回地摸取两次，则在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别求解出“第一次摸到蓝球”的概率；“第一次摸到蓝球且第二次摸到红球”的概率；根据条件概率公式可求得结果.【详解】记“第一次摸到蓝球”为事件；“第二次摸到红球”为事件则，所求概率为：本题正确选项：【点睛】本题考查条件概率的求解问题，属于基础题.9.由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是（ ）A. 60B. 48C. 36D. 24【答案】A【解析】【分析】分别计算出十万位为奇数和偶数两种情况下组成数字的个
6、数，利用加法原理求得结果.【详解】当首位为奇数时，无重复数字六位数个数为：个当首位偶数时，无重复数字六位数个数为：个满足题意的六位数总数有：个本题正确选项：【点睛】本题考查分类加法原理的应用问题，涉及到排列的相关知识，易错点是忽略首位不能为零的情况.10.若函数在上有小于O的极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得导数后，可知当时，函数单调递增，不符合题意；当时，求出极值点为，利用求得范围.【详解】由题意知：当时，恒成立，则在上单调递增，不符合题意当时，令，解得：时，；时，可知为的极值点 本题正确选项：【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值的问题，
7、关键是能够根据导函数的正负判断出函数的单调性，从而确定极值点.11.已知函数，若对，都有成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过变形可将问题转化为对，单调递减；即在上恒成立；通过分离变量的方式可求得的取值范围.【详解】由且得：对，都有令，则则只需对，单调递减即可即在上恒成立 令，则当时，则在上单调递减当时，则在上单调递增 本题正确选项：【点睛】本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围问题，关键是能够将原题中的恒成立的关系转化为函数单调性的问题，从而通过分离变量的方式来求解.12.杨辉是中国南宋时期的杰出数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果
8、，它的许多性质与组合数的性质有关，其中蕴藏了许多优美的规律.设，若的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列.则称具有性质.如的展开式中，二、三、四项的二项式系数为，依次成等差数列，所以具有性质.若存在，使具有性质，则的最大值为（ ）A. 22B. 23C. 24D. 25【答案】B【解析】【分析】根据连续三项二项式系数成等差数列可列出，根据组合数公式进行整理可得：，可知为完全平方数，分析可知.【详解】由题意得：，整理可得：即：为完全平方数又且最大值为：本题正确选项：【点睛】本题考查组合数公式的应用，关键是能够通过化简判断出为完全平方数，从而可分析求得结果.二、填空题.13.已知离
9、散型随机变量的分布列为123则_【答案】【解析】【分析】根据所有可能取值对应的概率和为可构造方程求得结果.【详解】由题意得：，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查分布列中概率的性质，属于基础题.14.已知，则_.【答案】1【解析】令x=1,得到=0，令x=0得到两式子做差得到.故答案为：1.15.已知函数的定义域为，若对，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】构造函数，通过导数可知单调递减，再通过可确定的解集，从而得到结果.【详解】令，则在上单调递减又当时，即的解集为：本题正确结果：【点睛】本题考查利用单调性求解不等式的问题，关键是能够通过构造函数的方式将问题转化为自变量范围的求解.16.
10、甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛，采用三局二胜制，先胜两局者赢得比赛，比赛随即结束，已知任一局甲胜的概率为，若甲赢得比赛的概率为，则取得最大值时_【答案】【解析】【分析】利用表示出，从而将表示为关于的函数，利用导数求解出当时函数的单调性，从而可确定最大值点.【详解】甲赢得比赛的概率：，令，则，令，解得：当时，；当时，即在上单调递增；在上单调递减当时，取最大值，即取最大值本题正确结果：【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，关键是根据条件将表示为关于变量的函数，同时需要注意函数的定义域.三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知的展开式中前三项的系数成等差数列. (1)求
11、展开式的二项式系数的和；(2)求展开式中含的项.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】列出二项展开式的通项公式，利用前三项系数成等差可求得；（1）根据展开式二项式系数和的性质可得结果；（2）根据展开式通项公式可知，当时为所求项，代入通项公式求得结果.【详解】二项展开式的通项公式为：展开式前三项的系数依次为，整理可得：解得：（舍）或二项展开式的通项公式为：（1）二项展开式的二项式系数的和为：（2）令，解得：展开式中含的项为【点睛】本题考查组合数的运算、二项展开式二项式系数和的性质、求指定项的问题，考查对于二项式定理的知识的掌握，属于常规题型.18.已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程； (2)
12、设，是曲线上的任意一点，过作轴的垂线，垂足为，当时，求面积的最大值.【答案】(1) (2)54【解析】【分析】（1）利用函数解析式求得切点坐标、利用导数求得切线斜率，根据直线点斜式写出切线方程；（2）将所求面积表示为关于的函数，利用导数求得函数的单调性，从而可确定取最大值的点，代入函数关系式求得最大值.【详解】（1）由题意知： 又曲线在点的切线方程为：即：（2）由题意得：则：设，则令且 当，的变化情况如下表：极大值由函数单调性可知，极大值即为其最大值当时，即面积的最大值为【点睛】本题考查根据导数的几何意义求解在某点处的切线方程、利用导数求解函数的最值问题，关键是能够将所求面积表示为关于变量的函
13、数.19.某厂生产A产品的产量（件）与相应的耗电量（度）的统计数据如下表所示： 2345623578经计算：，. (1)计算 的相关系数；（结果保留两位小数）(2)求关于的线性回归方程，并预测生产10件产品所耗电的度数. 附：相关系数，.【答案】(1)0.99 (2) ；14.6度【解析】【分析】（1）根据表中数据求解出，和，将数据代入相关系数的公式求得结果；（2）将数据代入公式即可求出回归直线，将代入回归直线即可求得预测值，即耗电的度数.【详解】（1）从表中数据可知：， （2）由题意知：线性回归方程为根据线性回归方程预测，当生产件产品时，消耗的电量度数为：（度）【点睛】本题考查相关系数的求解
14、、最小二乘法求解回归直线、根据回归直线求解预测值的问题，属于常规题型.20.某地区为调查新生婴儿健康状况，随机抽取6名8个月龄婴儿称量体重（单位：千克），称量结果分别为6，8，9，9，9.5，10.已知8个月龄婴儿体重超过7.2千克，不超过9.8千克为“标准体重”，否则为“不标准体重”. (1)根据样本估计总体思想，将频率视为概率，若从该地区全部8个月龄婴儿中任取3名进行称重，则至少有2名婴儿为“标准体重”的概率是多少？ (2)从抽取的6名婴儿中，随机选取4名，设X表示抽到的“标准体重”人数，求X的分布列和数学期望.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）计算出“标准体重”的频率，用
15、频率代替概率，可知抽取名婴儿服从于二项分布，利用二项分布概率计算公式可求出至少有名婴儿为“标准体重”的概率；（2）由题意知服从于超几何分布，利用超几何分布求解出每个的取值所对应的概率，从而可求得分布列，利用数学期望计算公式求得期望.【详解】（1）抽取的名婴儿中“标准体重”的频率为故从该地区中任取名婴儿为“标准体重”的概率为：设“在该地区个月龄婴儿中任取名，至少名为标准体重”为事件则：（2）由题意知，的可能取值为；的分布列为：【点睛】本题考查概率分布中的二项分布的概率求解、超几何分布的分布列和数学期望的求解问题，关键是能够确定随机变量服从的分布类型，从而确定所使用的公式，属于常规题型.21.某市
16、举办数学知识竞赛活动，共5000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中2道单选题，1道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得O分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩. (1)通过分析可以认为学生初试成绩服从正态分布，其中，试估计初试成绩不低于90分的人数； (2)已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为，多选题的正答率为，且每道题回答正确与否互不影响.记小强复试成绩为，求的分布列及数学期望. 附：，.【答案】(1)114人 (2)见解析【解析】【分析】（1）根据正态分布可知，利用总人数乘以概率可求得所求人数；（2
17、）首先确定所有可能的取值，计算出每个取值所对应的概率，从而可求得分布列；再利用离散型随机变量的数学期望公式求得数学期望.【详解】（1），即，又 估计不低于分的人数有：（人）（2）的所有可能取值为；的分布列为：【点睛】本题考查正态分布求解概率和估计总体、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解问题，关键是准确判断离散型随机变量可能的取值和对应的概率，属于常规题型.22.已知函数.(1)讨论函数的单调性； (2)判断函数能否有3个零点？若能，求出的取值范围；若不能，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）不可能有个零点；说明见解析【解析】【分析】（1）求导后，根据导函数零点的分布情况在不同的取值范围
18、情况下讨论导函数的正负，从而得到函数的单调性；（2）采用反证法，假设有个零点，可知需满足或；当时，可得极大值，从而知不可能有个零点；当时，可得极大值，将其看做关于的函数，通过导数可判断出，从而可知不可能有个零点；可知假设错误，即不可能有个零点.【详解】（1）由题意知：函数定义域为若，则当时，则为减函数当时，则为增函数若当或时，则为增函数当时，则为减函数若，则，故在上增函数若当或时，则为增函数当时，则为减函数（2）若函数有个零点，由（1）可知，必有或若，由（1）可知在处取得极大值，在处取得极小值此时不可能有个零点若，由（1）可知在处取得极大值，在处取得极小值则， ，即 在上单调递增 在上单调递减当时， 此时不可能有个零点综上所述：函数不可能有个零点【点睛】本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性问题、根据参数范围确定函数零点分布问题.确定零点个数的关键是能够通过导数确定函数的图象，可知有三个零点则需极小值小于零且极大值大于零，从而可根据极值情况确定零点个数.