1、课时作业(五十四)最值、范围、证明问题1已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x24y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，)在该椭圆上。(1)求椭圆E的方程。(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，当ABC的面积最大时，求直线l的方程。解析：(1)由已知得抛物线的焦点为(0，)，故设椭圆方程为1(a)。将点A(1，)代入方程得1，整理得a45a240，解得a24或a21(舍去)，故所求椭圆方程为1。(2)设直线l的方程为yxm，B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由得4x22mxm240，则8m216(m24)8(8m2)0，所以0m28。由x1x2m，x
2、1x2，得|BC|x1x2|。又点A到BC的距离为d，故SABC|BC|d，当且仅当2m2162m2，即m2时取等号。当m2时，满足0m28。故直线l的方程为yx2。2在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线xy4相切。(1)求圆O的方程。(2)若圆O上有两点M，N关于直线x2y0对称，且|MN|2，求直线MN的方程。(3)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求的取值范围。解析：(1)半径r2，故圆O的方程为x2y24。(2)因为圆O上有两点M，N关于直线x2y0对称，故MN的斜率等于直线x2y0斜率的负倒数，等于2，设MN的方程为y2x
3、b，即2xyb0。由弦长公式可得，圆心O到直线MN的距离等于1。由点到直线的距离公式可得1，b，故MN的方程为2xy0。(3)圆O与x轴相交于A(2,0)，B(2,0)两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，所以|PA|PB|PO|2，设点P(x，y)，则有x2y2，两边平方，化简可得x2y22。由点P在圆内可得x2y24，故有0y20，解得b2。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y28，y1y28b，设圆心Q(x0，y0)，则应有x0，y04。因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r|y0|4，又|AB|。所以|AB|2r8，解得b。所以x1x22b2y1
4、2b2y24b16，所以圆心为。故所求圆的方程为2(y4)216。(2)因为直线l与y轴负半轴相交，所以b2，所以2b0，直线l：yxb可化为x2y2b0，点O到直线l的距离d，所以SAOB|AB|d4b4 。令g(b)b32b2，2bb0)的离心率为，且经过点P。过它的两个焦点F1，F2分别作直线l1与l2，l1交椭圆于A，B两点，l2交椭圆于C，D两点，且l1l2。(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围。解析：(1)由得a2c，所以a24c2，b23c2，将点P的坐标代入椭圆方程得c21，故所求椭圆方程为1。(2)当l1与l2中有一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积为S6。若l1与l2的斜率都存在，设l1的斜率为k，则l2的斜率为。直线l1的方程为yk(x1)。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y整理得(4k23)x28k2x4k2120。x1x2，x1x2，|x1x2|，|AB|x1x2|。注意到方程的结构特征，或图形的对称性，可以用代替中的k，得|CD|，S|AB|CD|，令k2t(0，)，S66，S。综上可知，四边形ACBD的面积S的取值范围为。
