1、7.3.5 已知三角函数值求角第七章 三角函数 重点：正切函数的性质、已知三角函数值求角.难点：正切函数性质的应用及对符号arcsin y，arccos y，arctan y的理解.1.能利用正切线探究正切函数的性质，掌握正切函数的性质（定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等）.2.能画出ytan x的图像，借助图像理解正切函数的性质.3.掌握已知三角函数值求角的方法，会由已知的三角函数值求角，了解符号arcsin y，arccos y，arctan y的含义.学习目标 常考题型 一 已知正弦函数值求角 例1 已知sin 23x32，分别求出下列范围内的x的值.（1）0,2；（2），2；（3）
2、-2，-.【解】由sin 23x32 0可知，角2x+3 对应的正弦线方向向上，且长度为32.作示意图如图所示.因为sin 3 sin 23 32，所以2x+3 3+2k 或 23+2k，kZ，所以xk 或x 6+k，kZ.（1）若x 0,2，则x0或x 6；（2）若x，2，则x 或x 76 或x2；（3）若x-2，-，则x-2 或x-116 或x-.已知三角函数值求角的方法已知角x的一个三角函数值，求角x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该会在题目中给定.如果在这个范围内符合要求的角不止一个，且当角的终边不在坐标轴上时，可以按照以下步骤来解决：（1）由已知
3、三角函数值的符号确定角的终边所在的象限.（2）若函数值为正数，先求出对应锐角；若函数值为负数，先求出与其绝对值对应的锐角.（3）根据角的终边所在象限，由诱导公式得出0，2）内的角，如果适合已知条件的角是第二象限的角，则它等于-；如果适合已知条件的角是第三或第四象限的角，则它等于+或2-.（4）如果要在整个实数集上求适合条件的角的集合，则利用终边相同的角的表达式来写出.函数 ylog2（2sin x+1）的定义域为 .解析：要使函数有意义，则必有2sin x+10，即sin x-12.结合正弦曲线或单位圆，如图所示，可知函数ylog2（2sin x+1）的定义域为 x-6+2k x 76+2k，
4、kZ.1-1答案：x-6+2k x 76+2k，kZ 求与三角函数有关的函数定义域的基本方法求与三角函数有关的函数的定义域的基本方法是“数形结合法”，也就是在求这类函数的定义域时，往往需要解有关的三角函数不等式，而解三角函数不等式问题时常借助三角函数曲线或单位圆等图形的直观形象.利用正弦曲线求解sin xa或sin xa（|a|0可知，角3x+4 对应的余弦线方向向右，且长度为22，如图所示.因为cos 4cos 4 22，所以3x+4-4+2k，或3x+4 4+2k，kZ.所以x-6+23k 或x 23k，kZ.（1）若x20,3，则x0或x 2；（2）若x5,66，则x-56 或x-23.
5、函数 y22sincos1xx 的定义域为 .解析：为使函数有意义，需满足2sin 2x+cos x-10，即2cos 2x-cos x-10，解得-12 cos x1.（方 法 1）结 合 余 弦 函 数 的 图 像，如 图 所 示，可 得 所 求 定 义 域 为2222,33xkxkkZ.2-1答案：2222,33xkxkkZ 函数 y22sincos1xx 的定义域为 .解 析：（方 法 2）利 用 单 位 圆 求 解，如 图 所 示，所 以 所 求 函 数 的 定 义 域 为2222,33xkxkkZ.2-1答案：2222,33xkxkkZ 利用余弦曲线求解cos a或cos a（|a
6、|0，所以tan x 3.根据正切函数图像，得k-2 xk+3，kZ，所以函数的定义域是,23x kxkkZ.函数y1tanx+lg（1-tan x）的定义域为（）A.,44kxkx，kZ B.22,263kk，kZ C.22,263kk，kZ D.2,244kk，kZ 解析：由题意得 tan10,1tan0,xx 即-1tan x1.在,2 2 内，满足上述不等式的x的取值范围是,44.又ytan x的周期为，所以所求函数的定义域是,44kk，kZ.1-3答案：A 求解与正切函数相关的函数的定义域时，除了考虑函数解析式的限制条件外，同时要注意正切函数的自身限制条件.在确定函数周期时，要注意正切函数本身的周期为，而不是 2.小结 三种题型：1.已知正弦函数值求角；2.已知余弦函数值求角；3.已知正切函数值求角.