1、数学试题第 1 页（共 5 页）数 学 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设1iz ，则2iz Ai B i C1 D 1 2设集合22,3,23Aaa，0,3B，2,Ca若 BA，2AC，则 a A 3 B 1 C1 D3 3甲、乙、丙、
2、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为 A 16 B 14 C 13 D 12 4平面向量a 与 b 相互垂直，已知(6,8)a，|5b，且 b 与向量(1,0)的夹角是钝角，则b A(3,4)B(4,3)C(4,3)D(4,3)5已知点 A，B，C 为椭圆 D 的三个顶点，若ABC是正三角形，则 D 的离心率是 A 12 B 23 C63 D32 6三棱锥 ABCD中，AC 平面BCD，BDCD若3AB，1BD ，则该三棱锥体积的最大值为 A 2 B 43 C1 D 23 7设函数()f x，()g x 在 R 的导函数存在，且()()f
3、xg x，则当(,)xa b时 A()()f xg x B()()f xg x C()()()()f xg ag xf a D()()()()f xg bg xf b 8已知 a，b，c 满足5log(23)bba，3log(52)bbc，则 A|acbc，|abbc B|acbc，|abbc C|acbc，|abbc D|acbc，|abbc 数学试题第 2 页（共 5 页）二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9已知()f x 是定义在 R 上的偶函数，()g x
4、 是定义在 R 上的奇函数，且()f x，()g x 在(,0单调递减，则 A(1)(2)f ff f B(1)(2)f gf g C(1)(2)g fg f D(1)(2)g gg g 10已知平面 平面l ，B，D 是 l 上两点，直线 AB且 ABlB，直线CD且 CDlD下列结论中，错误的有 A若 ABl，CDl，且 ABCD，则 ABCD 是平行四边形 B若 M 是 AB 中点，N 是CD 中点，则 MN/AC C若，ABl，ACl，则CD 在 上的射影是 BD D直线 AB，CD 所成角的大小与二面角l 的大小相等 11质点 P 和Q 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的O上逆时针作
5、匀速圆周运动，同时出发 P 的角速度大小为 2rad/s，起点为O与 x 轴正半轴的交点；Q 的角速度大小为5rad/s，起点为射线3(0)yx x 与O的交点则当Q 与 P 重合时，Q的坐标可以为 A22(cos,sin)99 B55(cos,sin)99 C(cos,sin)99 D(cos,sin)99 12下图改编自李约瑟所著的中国科学技术史，用于说明元代数学家郭守敬在编制授时历时所做的天文计算图中的 AB，AC，BD，CD 都是以 O 为圆心的圆弧，CMNK 是为计算所做的矩形，其中 M，N，K 分别在线段OD，OB，OA上，MNOB，KNOB 记AOB ，AOC ，BOD ，COD
6、 ，则 Asinsincos Bcoscos cos Csinsincos Dcoscoscoscos 数学试题第 3 页（共 5 页）三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布2(100,)N质量指标介于99 至101 之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得 至多为 （若2(,)XN ，则|2 0.9545PX）14若 P，Q 分别是抛物线2xy与圆22(3)1xy上的点，则|PQ 的最小值为 15数学家祖冲之曾给出圆周率 的两个近似值：“约率”227 与“密率”355113 它们可用“调日法
7、”得到：称小于3.1415926 的近似值为弱率，大于3.141 5927 的近似值为强率由 3411，取 3为弱率，4 为强率，得13471 12a，故1a 为强率，与上一次的弱率 3计算得23710123a，故2a 为强率，继续计算，若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推已知227ma，则 m ；8a 16右图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态例如，按(2,2)将导致(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2
8、)改变状态如果要求只改变(1,1)的状态，则需按开关的最少次数为 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）如图，四边形 ABCD 是圆柱底面的内接四边形，AC 是圆柱的底面直径，PC 是圆柱的母线，E 是 AC 与 BD 的交点，ABAD，60BAD（1）记圆柱的体积为1V，四棱锥 PABCD的体积为2V，求12VV；（2）设点 F 在线段 AP 上，4PAPF，4PCCE，求二面角 FCDP的余弦值(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)数学试题第 4 页（共 5 页）18（12 分
9、）已知函数()sin()f xx在区间 (,)6 2 单调，其中 为正整数，|2，且2()()23ff（1）求()yf x图像的一条对称轴；（2）若3()62f，求 19（12 分）记数列na的前 n 项和为nT，且11a ，1nnaT（2n）（1）求数列na的通项公式；（2）设 m 为整数，且对任意 nN，1212nnmaaa，求 m 的最小值 20（12 分）一个池塘里的鱼的数目记为 N，从池塘里捞出 200 尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500 尾鱼，X 表示捞出的500 尾鱼中有标识的鱼的数目（1）若5 000N，求 X 的数学期望；（2）已知捞
10、出的500 尾鱼中15 尾有标识，试给出 N 的估计值（以使得(15)P X 最大的 N 的值作为 N 的估计值）21（12 分）已知双曲线2222:1xyCab(0,0)ab过点(4 2,3)A，且焦距为10 （1）求C 的方程；（2）已知点(4 2,3)B，(2 2,0)D，E 为线段 AB 上一点，且直线 DE 交C 于G，H 两点证明：|GDHDGEHE 数学试题第 5 页（共 5 页）22（12 分）椭圆曲线加密算法运用于区块链 椭圆曲线2332(,),4270Cx yyxaxbab|PC关于 x 轴的对称点记为P C 在点(,)(0)P x yy 处的切线是指曲线3yxaxb+在点 P 处的切线定义“”运算满足：若 PC，QC，且直线 PQ 与C 有第三个交点 R，则PQR；若 PC，QC，且 PQ 为C 的切线，切点为 P，则PQP；若 PC，规定*0PP，且*00PPP.（1）当324270ab时，讨论函数3()h xxaxb零点的个数；（2）已知“”运算满足交换律、结合律，若 PC，QC，且 PQ 为C 的切线，切点为 P，证明：PPQ；（3）已知11(,)P x yC，22(,)Q xyC，且直线 PQ 与 C 有第三个交点，求 PQ的坐标 参考公式：3322()()mnmn mmnn
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