1、第38讲 空间中的平行关系 第38讲 空间中的平行关系 1空间中直线和平面的位置关系 知识梳理 第38讲 知识梳理 a 无数个 第38讲 知识梳理 a 没有 a A a 一个 第38讲 知识梳理 2.空间中两个平面的位置关系 没有 l a 直线 第38讲 知识梳理 没有公共点 一条直线与平面内的一条直线 3.直线与平面平行的判定与性质 第38讲 知识梳理 交线 平行 第38讲 知识梳理 相交直线 相交直线 两条直线 4.平面与平面平行的判定与性质 同一条直线 第38讲 知识梳理 平行 交线 要点探究 探究点1 平行的判定第38讲 要点探究 例1 2010福州质检 已知三棱柱ABCA1B1C1中
2、，M、N分别是A1B1和BC的中点，连接MN，AM，AN.求证：MN平面ACC1A1.第38讲 要点探究 解答 方法 1：如图，设 AC 的中点为 D，连接 DN，A1D，D，N 分别是 AC，BC 的中点，DN 12AB，又A1M12A1B1，A1B1 AB，A1M DN，即四边形 A1DNM 是平行四边形，A1DMN，又A1D平面 ACC1A1，MN平面 ACC1A1，MN平面 ACC1A1.第38讲 要点探究 第38讲 要点探究 第38讲 要点探究 2010陕西卷 如图 382 所示，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，APAB，BPBC2，E，F 分别是
3、 PB，PC 的中点(1)求证：EF平面 PAD；(2)求三棱锥 EABC 的体积 V.第38讲 要点探究 思路 要证明EF平面PAD，可考虑利用线面平行的判定定理，转化为在平面PAD内确定EF的平行线，要找出这条直线，可利用条件E，F分别是PB，PC的中点，应用中位线定理 解答(1)证明：在PBC 中，E，F 分别是PB，PC 的中点，EFBC.又 BCAD，EFAD，又AD平面 PAD，EF平面 PAD，EF平面 PAD.第38讲 要点探究(2)连接 AE，AC，EC，过 E 作 EGPA 交 AB 于点G，则 EG平面 ABCD，且 EG12PA.在PAB 中，APAB，PAB90，BP
4、2，APAB 2，EG 22.SABC12ABBC12 22 2，VEABC13SABCEG13 2 22 13.第38讲 要点探究 例 2 如图 383 所示，正三棱柱 ABCA1B1C1中，E、F、G、H 分别是 AB、AC、A1C1、A1B1的中点 求证：平面 A1EF平面 BCGH.第38讲 要点探究 思路 本题证面面平行，可证明平面A1EF内的两条相交直线分别与平面BCGH平行，然后根据面面平行的判定定理即可证明 第38讲 要点探究 解答 ABC 中，E、F 分别为 AB、AC 的中点，EFBC.又EF平面 BCGH，BC平面 BCGH，EF平面 BCGH.又G、F 分别为 A1C1
5、，AC 的中点，A1G 綊 FC，四边形 A1FCG 为平行四边形 A1FGC.又A1F平面 BCGH，CG平面 BCGH，A1F平面 BCGH.又A1FEFF，平面 A1EF平面 BCGH.第38讲 要点探究 点评 证明两个平面平行，只要在其中一个平面内找到两条相交直线与另一个平面平行，即要证“面面平行”只要证“线面平行”，要证“线面平行”，只要证“线线平行”，故问题最终转化为证线与线的平行 探究点2 平行的性质第38讲 要点探究 例 3 如图 384 所示，斜三棱柱 ABCA1B1C1中，D、D1分别是 AC、A1C1上的点(1)当A1D1D1C1为何值时，BC1平面 AB1D1?(2)当
6、ADDC为何值时，平面 BC1D平面 AB1D1?第38讲 要点探究 思路 第(1)小题要得到 BC1平面 AB1D1，可转化为 BC1与平面 AB1D1内的一条直线平行，联想三角形中位线，得 D1是 A1C1的中点；第(2)小题平面 BC1D平面 AB1D1，可得线线平行，利用比例线段求解 第38讲 要点探究 解答(1)如图所示，取线段 A1C1的中点 D1，则A1D1D1C11，连接 A1B 交 AB1于点 O，连接 OD1.由棱柱的性质知四边形 A1ABB1 为平行四边形，所以点 O 为 A1B 的中点 在A1BC1中，点 O、D1分别为 A1B、A1C1的中点，OD1BC1.又OD1平
7、面 AB1D1，BC1平面 AB1D1，BC1平面 AB1D1，当A1D1D1C11 时，BC1平面 AB1D1 第38讲 要点探究 第38讲 要点探究(2)平面 BC1D平面 AB1D1，且平面 A1BC1平面 BDC1BC1，平面 A1BC1平面 AB1D1OD1，BC1OD1，同理 AD1DC1，由 BC1OD1，得A1D1D1C1A1OOB，由 AD1DC1，ADD1C1，得 ADC1D1是平行四边形，ADD1C1，A1D1DC，又A1OOB，DCADA1D1D1C1A1OOB1，即当ADDC的值为 1 时，平面 BC1D平面 AB1D1.第38讲 要点探究 点评 把面面平行与线面平行
8、转化为线线平行，是解决本题的关键；探究性问题，可采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在 探究点3 平行关系的综合应用第38讲 要点探究 例 4 如图 385 所示，已知点 P 是三角形 ABC 所在平面外一点，且 PABC1，截面 EFGH 分别平行于 PA、BC(点 E、F、G、H 分别在棱 AB、AC、PC、PB 上)(1)求证：四边形 EFGH 是平行四边形且周长为定值；(2)设 PA 与 BC 所成的角为 ，求四边形 EFGH 的面积的最大值 第38讲 要点探
9、究 思路 本题已知线面平行，可联想线面平行的性质定理，得到线线平行，由此判断截面EFGH的形状；设EHx，可用x表示四边形EFGH的周长与面积，转化为函数问题求解 第38讲 要点探究 解答(1)证明：PA截面 EFGH，平面 PAB截面 EFGHHE，平面 PAC截面 EFGHGF，PAHE，PAGF，HEGF，同理 HGEF，截面 EFGH 是平行四边形 设 EHx(0 x1)，则BHBPEHAPx1，PHBP1xHGBCHG1x，四边形 EFGH 是平行四边形的周长为 2(EHHG)2(x1x)2，即四边形 EFGH 是平行四边形且周长为定值 第38讲 要点探究(2)由(1)知，设 EHx
10、(0 x1)，则有 EFHG1x，又PAHE，BCEF，则HEF(或补角)是 PA 与 BC 所成的角，SEFGHHEEFsinHEFx(1x)sin x12214 sin，当 x12时，即 E、F、G、H 为所在边的中点时，四边形EFGH 的面积有最大值14sin.第38讲 要点探究 点评(1)已知线面平行，可转化为线线平行，尤其在作几何体的截面时，常用来确定交线的位置；(2)立体几何中的最值问题往往要借助函数来求解，关键是确定自变量x，建立所求的问题的函数关系式 规律总结 第38讲 规律总结 1运用直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行，证两直线平行是平面几何的问题，体现了空间问题平面化的思想；判定直线与平面平行有以下方法：一是判定定理，二是线面平行定义，三是面面平行的性质定理 2运用判定定理证明平面与平面平行时，两直线是相交直线这一条件是关键，缺少这一条件则定理不一定成立；证明面与面平行常转化为证明线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，逐步由空间转化到平面 第38讲 规律总结 3平面与平面的平行也具有传递性 4平行关系的相互转化