1、2014-2015学年度第二学期期末考试高 二 数 学（理）试题注意事项：1考生务必用0.5mm黑色中性笔答题.2请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。3满分150分，考试时间120分钟.一选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合A=-2,-1,0,1,2,3,4,B=-3,-2,-1,1,5,则集合AB的子集的个数为 ( )A.6B.7C.8D.32已知i是虚数单位，z=1+i，则复数在复平面内对应的点在 ( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3若cosa=，则cos2a= (
2、)A. B.C. D.-4已知正数x,y满足,则z=2xy的最小值为 ( )A.5B. 5C. 4D. 45若如图所示的程序框图运行后,输出的S的值为31,则判断框内填入的条件可以为( )A.x7?B.x6?C.x6?D.x6?6一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A.33!B.3(3！)3C.(3！)4D.9!7等比数列an中,a10,则“a1a3”是“a30成立.若a=(20.2)f(20.2),b=(ln2)f(ln2),c=(log24)f(log24),则a,b,c的大小关系是 ( )A.abcB.bcaC. cbaD. cab11已知adx，则(a
3、x)9的展开式中，关于x的一次项的系数为 ( )A.B.C. D.12在区间0,1上任意取两个实数a,b,则函数f(x)=x3+ax-b在区间1,1上有且仅有一个零点的概率为 ( )A.B.C.D.二填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13已知x,y都是正实数,满足x+y=1,则log2x+log2y的最大值等于.14若双曲线mx2+y2=1的离心率为，则m_15某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_16定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)则关于x的函数F(x)f(x)a(0a1时，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围附加题(每小题5分，共15
4、分)1数列an的通项公式为an(-1)n-1(4n-3)，则它的前100项之和S100= 2设，若，则+的最小值为 .3已知抛物线y28x，点Q在圆C：x2y22x8y130上，记抛物线上任意一点P到直线x=2的距离为d，则d|PQ|的最小值等于_2014-2015学年度第二学期期末考试试题答案高 二 数 学（理）一选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)题号123456789101112答案CDADBCBCADAC二填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13214115241612a三、解答题：(解答应给出文字说明，证
5、明过程或演算步骤，共70分)17(本小题满分10分)已知ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量(a，b)，(sinB，sinA)，(b2，a2)(1)若，求证：ABC为等腰三角形；(2)若，边长c2，角C，求ABC的面积解:(1)证明：，asinAbsinB. 3分由正弦定得知ab，ab.故ABC为等腰三角形 6分(2)，0，a(b2)b(a2)0，abab. 8分由余弦定理c2a2b22abcosC得4(ab)23ab，即(ab)23ab40.解得ab4，ab1(舍去) 11分ABC的面积SabsinC4sin. 12分18(本小题满分12分)已知等差数列an满足a20，a6a
6、810.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前n项和解：(1)设等差数列an的公差为d，由已知条件可得 2分解得故数列an的通项公式为an2-n. 6分(2)设数列的前n项和为Sn，即Sna1， 故S11，.所以，当n1时，-得a1- 9分1-1-. 11分所以Sn.当n1时也成立综上，数列的前n项和Sn. 12分19.(本小题满分12分)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081(1)已知甲厂生
7、产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；(2)当产品中的微量元素x，y满足x175且y75时，该产品为优等品用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值(即数学期望)解：(1)由分层抽样的定义可知乙厂生产的产品数量为35(件) 3分(2)由题中表格提供的数据可知，乙厂抽取的5件产品中有2件优等品，分别是2号和5号，样品中优等品的频率为，由(1)知乙厂共有产品35件，所以估计乙厂优等品的数量为3514(件) 6分(3)5件抽测品中有2件优等品，则的可能取值为0,1,2.P(0)，P(1)，P(2). 9分分
8、布列为012P故E()012. 12分POABCDM20、(本题12分，第1小问4分，第2小问4分，第3问4分)如图：四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB2，BAD，M是BC上的点，且BM=，(1)证明：BC平面POM；(2)在边PC与底面ABCD所成角的正切值为1，求平面PAD与平面PBC所成的二面角的余弦值解：(1)连接OB，OM，由AB2，BAD，BM=得OB=1，OM=，由勾股定理可知，OMBC，由题意知，POBC，可得BC平面POM 6分本小问也可建系求解(2)以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴建立直角坐标系，则A(,0,0)，B(0
9、,1,0)，C(,0,0)，D(0,1,0)，由PC与底面ABCD所成角的正切值为1得P(0,0,)，设=(x,y,z)为平面PAD的法向量，则，令z=1，则x=1，y=-，即=(1,-,1)；同理可得：平面PBC的法向量=(-1,1)，所以cos=-，由法向量与两平面的位置关系可得，平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值为 12分21(本小题满分12分)已知椭圆C：1（ab0）经过点M(2，1)，离心率为过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q（1）求椭圆C的方程；（2）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论解：（1）由题设，得1，且， 由、解得a26，b2
10、3，椭圆C的方程为16分（2）记P(x1，y1)、Q(x2，y2)设直线MP的方程为y1k(x2)，与椭圆C的方程联立，得(12k2)x2(8k24k)x8k28k40，2，x1是该方程的两根，则2x1，x1设直线MQ的方程为y1k(x2)，同理得x29分因y11k(x12)，y21k(x22)，故kPQ1，因此直线PQ的斜率为定值12分22设函数f(x)k(ln x)(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)(1)当k0时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k1时，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围解：(1)函数yf(x)的定义域为(0，)f(x)k().由k0可
11、得exkx0，所以当x(0,2)时，f(x)0，函数yf(x)单调递增所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，) 6分(2) 由f(x).设函数g(x)exkx，x0，)因为g(x)exkexeln k，当k1时，当x(0，ln k)时，g(x)0，函数yg(x)单调递增所以函数yg(x)的最小值为g(ln k)k(1ln k)函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当解得ek.综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k的取值范围为(e，) 12分附加题120023+23已知抛物线y28x，点Q在圆C：x2y22x8y130上，记抛物线上任意一点P到直线x=-2的距离为d，则d|PQ|的最小值等于_解析如图所示，由题意，知抛物线y28x的焦点为F(2,0)，连接PF，则d|PF|.圆C的方程配方，得(x1)2(y4)24，圆心为C(1,4)，半径r2.d|PQ|PF|PQ|，显然，|PF|PQ|FQ|(当且仅当F，P，Q三点共线时取等号)而|FQ|为圆C上的动点Q到定点F的距离，显然当F，Q，C三点共线时取得最小值，最小值为|CF|r2523.
