1、第36讲 空间几何体的表面积和体积 第36讲 空间几何体的 表面积和体积 知识梳理 第36讲 知识梳理 平面图形 平面图形 侧面面积 1柱体、锥体、台体的表面积 (1)多面体的表面积 我们可以把多面体展成_，利用_求面积的方法，求多面体的表面积；棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的侧面积就是各_之和，表面积是_之和，即_与_之和 各个面的面积 侧面积 底面积 第36讲 知识梳理 2 rl (2)旋转体的表面积公式 2 r22 rl 2 r(rl)第36讲 知识梳理 rl r2 rl r(rl)第36讲 知识梳理 (rr)l (r2r2rlrl)第36讲 知识梳理 4 R2 2.
2、柱体、锥体、台体的体积 (1)设棱(圆)柱的底面积为S，高为h，则体积V_；(2)设棱(圆)锥的底面积为S，高为h，则体积V_；(3)设棱(圆)台的上、下底面积分别为S、S，高为h，则体积V_；(4)设球半径为R，则球的体积V_.注：对于一些不规则几何体，常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体求体积 第36讲 知识梳理 Sh 13Sh 13(S SSS)h 43 R3 要点探究 探究点1 空间几何体的表面积和体积的计算第36讲 要点探究 例1(1)2010安徽卷 一个几何体的三视图如图361所示，该几何体的表面积是()A372 B360 C292 D280(2)一个容器的外形是一个棱长为
3、2 的正方体，其三视图如图 362 所示，则容器的容积为()A.23 B2 C8 D823 第36讲 要点探究 第36讲 要点探究 思路(1)解题的切入点是把三视图还原为直观图，把三视图中的条件转化为直观图的条件，根据各面的特征分别求面积，再求表面积(2)由三视图判断容器的形状是一个倒置的圆锥，根据三视图的条件可以确定容器的半径与高，代入体积公式求解 答案(1)B(2)A 第36讲 要点探究 解析(1)由三视图可知，该几何体是由两个长方体构成的组合体，上面的长方体的长为 6、宽为 2、高为 8；下面的长方体的长为 10、宽为 8、高 2，所以该几何体的表面积等于下面长方体的全面积与上面长方体的
4、 4 个侧面积之和，即 S(10810282)2(8682)2360，故选 B.(2)由三视图可知，几何体为正方体内倒置的圆锥(如图)，轴截面是等腰三角形，其底面的半径为 1，高为 2，故容器的体积为 V13 12223.第36讲 要点探究 点评 在以三视图为载体的试题中融入简单几何体的表面积与体积是高考新课标卷的热点题型，解题的关键是由三视图确定直观图的形状，以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用表面积公式求解；另外，组合体的表面积的重合部分容易产生重复计算的错误下面变式题是旋转体的表面积的计算问题：第36讲 要点探究 1 如图363所示，已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为
5、16，求这个球的表面积 第36讲 要点探究 思路(1)有关球的计算的关键是求出半径，球外接于正四棱柱，正四棱柱的顶点在球面上，正四棱柱的对角线长等于球的直径 第36讲 要点探究 解答(1)设正四棱柱的底边长为 a，则 VSha2ha2416，a2.如图，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的顶点都在球面上，过相对的侧棱 AA1、CC1及球心 O 作截面，对角线 AC1就是球的直径，设球的半径为 R，则 2R 2222422 6，R 6，S 球4 R24(6)224，故这个球的表面积为 24.第36讲 要点探究 例2 已知某几何体的俯视图是如图364所示的矩形，主视图是一个底边长为8、高为4的等腰
6、三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形 (1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.第36讲 要点探究 思路 由三视图还原几何体，根据几何体及各面的特征分别求面积，再求侧面积 第36讲 要点探究 解答 由已知三视图的条件可得，几何体是一个高为 4 的四棱锥，其底面是长、宽分别为 8 和 6 的矩形，正侧面及相对侧面均为底边长为 8，高为 h1的等腰三角形，左右侧面均为底边长为 6、高为 h2的等腰三角形(如图四棱锥 PABCD 所示)(1)该几何体的体积为 V13S 矩形h1368464.第36讲 要点探究(2)设 E 为边 CD 的中点，在 RtPOE 中，PE PO2
7、OE2 42424 2，即左右侧面的底边上的高 h24 2，同理前后侧面的底边上的高 h1 42325，所以，几何体的侧面积为 S212851264 2 4024 2.探究点2 空间几何中的最值问题第36讲 要点探究 例 2 2010全国卷 已知正四棱锥 SABCD 中，SA2 3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()A1 B.3 C2 D3 答案 C第36讲 要点探究 解析 如图，在正四棱锥 SABCD 中，SO 是高，设高 SO为 x(x0)，在 RtSOA 中，OA SA2SO232x2 12x2，第36讲 要点探究 则四棱锥的体积为 V1312(2 12x2)2x 23(12x2)x
8、8x23x3，V82x2，令 V82x20，得 x2，或 x2(舍去)，又当 0 x0；当 x2 时，V0，当 x2 时，体积 V 有最大值，则当该棱锥的体积 V 最大时，它的高为 2，故选 C.第36讲 要点探究 一个几何体的三视图如图365所示，该几何体的内接圆柱侧面积的最大值为_ 第36讲 要点探究 思路 解题的切入点由三视图还原几何体，关键是作出其轴截面，把侧面积表示出来 答案 4 第36讲 要点探究 解析 由三视图可知，直观图为底面半径为 2，高为 4 的圆锥，设内接圆柱的底面半径为 r，母线长为 l，S 侧2 rl，如图，得2r2 l4，即 2rl4，由均值不等式得 S 侧 2rl
9、 2rl224.探究点3 展开与折叠问题第36讲 要点探究 例 3 如图 366 所示，已知圆锥 SO 中，底面半径 r1，母线长 l4，M 为母线 SA 上的一个点，且 SMx，从点 M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点 A，求：(1)绳子的最短长度的平方 f(x)；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离 第36讲 要点探究 第36讲 要点探究 思路 在立体几何中常出现求距离的最小值，其切入点往往可利用展开图来解决，将空间问题平面化，通过平面几何知识寻找距离的最小值 第36讲 要点探究 解答 将圆锥的侧面沿母线 SA 展开成平面图(如图所示)，其侧面展开图为扇形，且弧 AA的长度 L 就是圆
10、O 的周长，所以 L2 r2，所以ASA L2 l360 22 436090.(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的 AM，其值为 AM x216(0 x4)，f(x)AM2x216(0 x4)第36讲 要点探究(2)绳子最短时，在展开图中作 SRAM，垂足为 R，则 SR 的长度为顶点 S 到绳子的最短距离，在SAM 中，因为 SSAM12SASM12AMSR，SRSASMAM4xx216(0 x4)即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为4xx216(0 x4)第36讲 要点探究 2010福州模拟 如图367所示，在等腰梯形ABCD中，AB2DC2，DAB60，E为AB的中点，将ADE与B
11、EC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点A，则三棱锥ADCE的外接球的体积为()A.4 327 B.62 C.68 D.32 第36讲 要点探究 思路 由展开图确定折叠后的几何体是正四面体，作出过球心的截面，利用平面几何知识求出外接球的半径 答案 C 第36讲 要点探究 解析 由已知条件知，平面图形中 AEEBBCCDDADEEC1，则折叠后得到一个各侧面为全等的正三角形的三棱锥(即正四面体)方法 1：如图，作 AF面 DEC，垂足为 F，F 即为DEC 的中心 取 EC 的中点 G，连接 DG、AG，过球心 O 作 OH面 AEC，则垂足 H 为AEC 的中心 在 RtAEG 中，AG
12、 32，AH23AG 33.第36讲 要点探究 在 RtAFG 中，AF1332 63.由OHAGFA，得 AHAFOAGA，OAGAAHAF32 3363 64，三棱锥 ADCE 的外接球的体积为 V43 R3 43643 68 .第36讲 要点探究 方法 2：如图，把正四面体放在正方体中显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球 正四面体棱长为 1，正方体棱长为 a 22，外接球直径 2R 3a 62，即外接球的半径 R 64，故所求外接球的体积为三棱锥 ADCE 的外接球的体积为 V43 R343643 68 .第36讲 要点探究 规律总结 第36讲 规律总结 1柱、锥、台体的侧面积和表面积都是利用展开图得到的，必须熟悉其侧面展开图的形状 第36讲 规律总结 第36讲 规律总结 第36讲 规律总结 第36讲 规律总结 2.球的截面有以下关系：R2r2d2，其中 R 是球的半径，r 是截面的半径，d 是球心与截面圆心的距离；棱长为 a 的正方体的外接球的半径是 32 a，棱长为 a 的正四面体的外接球的半径是 64 a.