1、第三部分 增分篇 策略一活用4大数学思想4.转化与化归思想 转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.应用1 直接转化【典例1】(1)(2019沈阳质量检测(一)抛物线y26x上一点M(x1，y1)到其焦点的距离为92，则点M到坐标原点的距离为_(2)(2019福州模拟)函数f(x)cos 2xa(sinxcosx)在区间0，2 上单调递增，则实数a的取值范围是_(1)33(2)2，)(1)由y26x，知
2、p3，由焦半径公式得x1p292，即x13，代入得y2118，则|MO|x21y213 3(O为坐标原点)，故填3 3.(2)因为f(x)cos 2xa(sin xcos x)在区间0，2 上单调递增，所以f(x)2sin 2xa(cos xsin x)0在区间0，2 上恒成立，因为x0，2，所以cos xsin x0，a2sin 2xsin xcos x在区间0，2 上恒成立令g(x)2sin 2xsin xcos x 4sin xcos xsin xcos x，令tsin xcos x，则4sinxcos x2(t21)，又tsin xcos x 2sinx4，x0，2，所以t 1，2，故
3、函数h(t)2t22t2t2t，函数h(t)在t1，2时单调递增，所以当t 2时，h(t)取到最大值，h(t)max 2，故g(x)max2，所以a 2.所以实数a的取值范围为 2，)【对点训练1】(1)若sin3 13，则cos32()A.79 B.23C23D79(2)(2019安庆二模)将x4x43展开后，常数项是_(1)D(2)160(1)sin3 13，cos6 13，cos32 cos 26 2cos26 179，故选D.(2)x4x43x 2x6，展开后的通项是Ck6(x)6k 2xk(2)kC k6(x)62k.令62k0，得k3.所以常数项是C 36(2)3160.应用2 等
4、价转化【典例2】(1)已知正数x，y满足4y2yx 1，则x2y的最小值为_(2)函数ycos2xsin x在x0，4 上的最大值为_(1)2(2)1(1)由4y2yx 1，得x2y4xy，即 14y 12x1，所以x2y(x2y)14y 12x 1 x4yyx12x4yyx2，当且仅当 x4yyx，即x2y时等号成立 所以x2y的最小值为2.(2)ycos2xsin xsin2xsin x1.令tsin x，又x0，4，t0，22，yt2t1，t0，22.函数yt2t1在0，22 上单调递减，t0时，ymax1.【对点训练2】(2019武汉模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1
5、D1中，M为CD中点，则四面体A-BC1M的体积()A.12 B.14C.16D.112C 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CD中点，SABM121112，VA-BC1MVC1-ABM1312116.故选C.应用3 正与反的相互转化【典例3】(1)掷一枚均匀的硬币10次，则出现正面的次数多于反面次数的概率为_(2)若对于任意t1,2，函数g(x)x3m22 x22x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是_(1)193512(2)373 m5(1)出现正面次数与出现反面次数相等的概率为C510210 2521 024 63256.利用对称性，即出现正面的次数多
6、于出现反面次数的概率与出现反面的次数多于出现正面次数的概率是相等的，所以出现正面的次数多于出现反面次数的概率为1 63256 2193512.(2)由题意得g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x)0在(t,3)上恒成立 由得3x2(m4)x20，即m4 2x 3x在x(t,3)上恒成立，m42t3t恒成立，则m41，即m5；由得m42x3x在x(t,3)上恒成立，则m4239，则m373.函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为 373m5.【对点训练 3】(1)由命题“存在 x0R，使 e|x01|
7、m0”是假命题，得 m 的取值范围是(，a)，则实数 a 的值是()A(，1)B(，2)C1D2(2)若二次函数 f(x)4x22(p2)x2p2p1 在区间1,1内至少存在一个值 c，使得 f(c)0，则实数 p 的取值范围是_(1)C(2)3，32 (1)命题“存在 x0R，使 e|x01|m0”是假命题，可知它的否定形式“任意 xR，e|x1|m0”是真命题，可得 m 的取值范围是(，1)，而(，a)与(，1)为同一区间，故 a1.(2)若在区间1,1内不存在c满足f(c)0，且36p20恒成立，则f10，f10，即p12或p1，p3或p32.解得p3或p32，取补集为3p32，即为满足
8、条件的P的取值范围 所以满足题意的实数p的取值范围是3，32.应用4 一般与特殊的转化【典例4】(1)在ABC中，三边长a，b，c满足ac3b，则tanA2tan C2的值为()A.15B.14C.12D.23(2)过抛物线yax2(a0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则1p1q等于()A2aB.12aC4aD.4a(1)C(2)C(1)令a4，c5，b3，则符合题意(取满足条件的三边)则由C90，得tan C21.由tan A43，得2tan A21tan2 A243，解得tan A212.所以tan A2tan C212112.(2)取直线PQ平
9、行于x轴，易知PQ的方程为：y 14a，如图所示，则PFFQ 12a，1p1q2a2a4a.故选C.【对点训练4】(1)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|6，|AD|4，若点M，N满足BM 3MC，DN 2NC，则AM NM()A20B15C9D6(2)如图，在三棱锥S-ABC中，E，F，G，H分别为SA，AC，BC，SB的中点，则截面EFGH将该三棱锥分成的两部分的体积之比VABGHEFVSCGHEF_.(1)C(2)1(1)(特例法)若四边形ABCD为矩形，建系如图 由 BM 3 MC，DN 2 NC，知M(6,3)，N(4,4)，所以AM(6,3)，NM(2，1)，AM NM 623
10、(1)9.(2)(秒杀解法)由于图形不确定，而答案固定，故假设该三棱锥为正四面体，则所截得的两部分形状一样，体积相等，故答案为1.应用5 常量与变量的转化【典例5】已知函数f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中f(x)是f(x)的导函数对满足1a1的一切a的值，都有g(x)0，则实数x的取值范围为_23，1 由题意，知g(x)3x2ax3a5，令(a)(3x)a3x25，1a1.对1a1，恒有g(x)0，即(a)0，10，10，即3x2x20，3x2x80，解得23x1.故当x23，1 时，对满足1a1的一切a的值，都有g(x)0.【对点训练5】(1)若不等式x2ax10对一切a2
11、,2恒成立，则x的取值范围为_(2)设y(log2x)2(t2)log2xt1，若t在2,2上变化时，y恒取正值，则x的取值范围是_(1)R(2)0，12(8，)(1)x2ax10对一切a2,2恒成立，即a(x)x210对一切a2,2恒成立 令f(a)a(x)x21 则f20，f20即2xx210，2xx210.xR.(2)设yf(t)(log2x1)t(log2x)22log2x1，则f(t)是一次函数，当t2,2时，f(t)0恒成立，则f20，f20，即log2x24log2x30，log2x210，解得log2x1或log2x3，即0 x12或x8，故实数x的取值范围是0，12(8，)应
12、用6 形体位置关系的相互转化【典例6】已知在三棱锥P-ABC中，PABC2 34，PBAC10，PCAB2 41，则三棱锥P-ABC的体积为()A40B80C160D240C 因为三棱锥P-ABC的三组对边两两相等，故可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥P-ABC补成一个长方体AEBG-FPDC.易知三棱锥P-ABC的各棱分别是此长方体的面对角线 不妨令PEx，EBy，EAz，则由已知，可得 x2y2100，x2z2136，y2z2164x6，y8，z10.从而知VP-ABCVAEBG-FPDCVP-AEBVC-ABGVB-PDCVA-FPCVAEBG-FPDC4VP-AEB6810413126810160.【对点训练6】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90，AC6，BCCC12，P是BC1上一动点，则CPPA1的最小值是_52 连接A1B，沿BC1将CBC1展开，与A1BC1在同一个平面内，如图，连接A1C，则A1C的长度就是所求的最小值 通过计算可得ABA1B1 38，A1B 40，A1C16，BC12，所以A1C1B90，又BC1C45，所以A1C1C135.由余弦定理可求得A1C5 2.Thank you for watching!
