1、山西省忻州市第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学（理）一、选择题：共12题 1满足条件a=4，b=5，A=的ABC的个数是A.1B.2C.无数个D.不存在【答案】D【解析】本题主要考查解三角形的相关知识,意在考查考生的分析求解能力.如图：RtACH中，由b=5，A=解得，由于，故这样的三角形不存在. 2已知数列an满足a11，an1an2n，则a10A.1024B.1023C.2048D.2047【答案】B【解析】本题主要考查求数列的通项公式,意在考查考生的归纳求解能力.采用累加法：,；相加得：，即：. 3在数列an中，an2n229n3，则此数列最大项的值是A.102B.C.
2、D.108【答案】D【解析】本题主要考查数列的最大项,意在考查考生的化归与转化的思想及知识迁移能力.将其看作一个二次函数，但是注意自变量只能取正整数.对称轴为且开口向下，显然所有正整数中离对称轴最近，故an的最小值为. 4在ABC中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，则A的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理,意在考查考生的计算求解能力.由正弦定理知：sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C 可以转化为：，再由余弦定理知：,两式结合得：，且，可以解得：； 5在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2c2a2bc.若
3、sin Bsin Csin2A，则ABC的形状是A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理,意在考查考生的计算求解能力.由b2c2a2bc及余弦定理可解得：，即：；由sin Bsin Csin2A结合正弦定理可得：代入b2c2a2bc可得：，即：，故：ABC是一个等边三角形. 6数列an中，若Sn=3n+m-5，数列an是等比数列，则m=A.2B.1C.1D.4【答案】D【解析】本题主要考查等比数列前项和公式的特点,意在考查考生的归纳推理能力.当公比时，等比数列的前项和公式为：，故，即. 7若0a1，则不等式(x-a)(x-)0
4、的解集是A.x|xa或xB.x|xaC.x|axD.x|x或xa【答案】A【解析】本题主要考查一元二次不等式的解法,意在考查考生的计算求解能力.(x-a)(x-)0的解集形式是“大于大的根或小于小的根”，对应方程的两个实根是和,由于0a1，可得；故不等式的解集为x|xa或x. 8ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a，b，c，设向量p= (ac，b)，q(ba，ca)，若pq，则角C的大小为A.B.C.D.【答案】B【解析】本题主要考查共线向量定理及余弦定理,意在考查考生的综合应用能力.由pq，化简得：,，解得,故. 9已知f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)lgx，设a，b，
5、c，则a、b、c的大小关系是A.cabB.abcC.bacD.cba【答案】A【解析】本题主要考查函数的性质,意在考查考生数形结合的思想及综合应用能力.如图：，显然：cab . 10设acos6sin6，b2sin13cos13，c，则有A.abcB.abcC.bcaD.acb【答案】D【解析】本题主要考查三角恒等变换的知识,意在考查考生对基本公式的熟悉程度.由辅助角公式知：，由二倍角公式：，.故acb . 11某校航模小组在一个棱长为6米的正方体房间内试飞一种新型模型飞机,为保证模型飞机安全,模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1米,则模型飞机“安全飞行”的概率
6、为A.B.C.D.【答案】D【解析】依题意得,模型飞机“安全飞行”的概率为()3=,选D 12设函数f(x)的定义域为R，且对任意的xR都有f(x1)f(x1)，若在区间1，3上函数g(x)f(x)mxm恰有三个不同零点，则实数m的取值范围是A.B.C.D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质及零点个数的判断,意在考查考生数形结合的思想及分析能力.由对任意的xR都有f(x1)f(x1)可知，函数f(x)的周期为2；在区间1，3上函数g(x)f(x)mxm恰有三个不同零点，即：与在区间1，3上恰好有三个不同的交点；由图象分析如下：斜率的取值范围是，即：取值范围是. 二、填空题：共7题 13设
7、a-38，P=，Q=，则P与Q的大小关系为 【答案】PQ【解析】本题主要考查不等式的基本性质，意在考查考生的运算求解能力.，显然：，即：，故：PQ . 14数列an中，a11，对于所有的n2，nN*，都有a1a2a3ann2，则a3a5_.【答案】【解析】本题主要考查数列通项公式的求法,意在考查考生的归纳推理能力.利用累乘法：当n2，nN*时，故：. 15设当x时，函数f(x)2sinxcosx取得最大值，则cos_.【答案】【解析】本题主要考查三角函数的值域与最值,意在考查考生的分析求解能力.由辅助角公式知：，其中；故当取得最大时，；所以=. 16给出下列结论:2ab是a2+b2的最小值;设
8、a0，b0，2的最大值是a+b;的最小值是2；若x0，则cosx+2=2；若ab0，其中正确结论的编号是_.(写出所有正确的编号)【答案】【解析】本题主要考查基本不等式求最值,意在考查考生的分析求解能力.都错误，因为最值必须是一个常数而不能是一个数值不确定的式子；错误，因为根据基本不等式：，但是取等号的条件是，即：，显然这样的数是不存在的；错误，因为若x0，不恒大于0，所以不能使用均值不等式；正确. 17已知x0，y0，且2x8yxy0，则xy的最小值为 【答案】18【解析】本题主要考查基本不等式求最值,意在考查考生的灵活应用能力.法一：选择消去一个变量：，故：，由于x0，y0，显然；由基本不
9、等式可知：，当且仅当时取等号成立；法二：由2x8yxy0，可得：；根据基本不等式：，可得：，解得：，当且仅当，即：时取等号成立. 18数列an满足an+1+(-1)nan=2n-1,则an的前60项和为.【答案】1 830【解析】本题考查数列求和问题,考查学生灵活应用递推关系式进行转化的能力、善于发现规律的观察能力和较强的计算能力. 由an+1+(-1)nan=2n-1得an+2=(-1)nan+1+2n+1=(-1)n(-1)n-1an+2n-1+2n+1=-an+(-1)n(2n-1)+2n+1,即an+2+an=(-1)n(2n-1)+2n+1,也有an+3+an+1=-(-1)n(2n
10、+1)+2n+3,两式相加得an+an+1+an+2+an+3=-2(-1)n+4n+4.设k为整数,则a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=-2(-1)4k+1+4(4k+1)+4=16k+10,于是S60=(a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4)=(16k+10)=1830. 19已知函数f(x)|x24x3|，若关于x的方程f(x)ax至少有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 【答案】-1，-【解析】本题主要考查函数与方程的相关知识,意在考查考生数形结合的思想及分析求解能力.方程f(x)ax至少有三个不相等的实数根函数与的图像至少有三个不同的交点；如图：当的图像
11、与重合时，；当的图像与重合时，与相切，联立方程组，可以解得：；综上所述，.三、解答题：共6题 20已知1lg2，2lg3，求的取值范围【答案】由变形得,解得.故的取值范围是【解析】本题主要考查不等式的基本性质,意在考查考生的计算求解能力.法一：先将1lg2，2lg3变形为，然后用lg和lg表示可得：，然后利用同向可加性即可求出最终结果；法二：（线性规划）原题等价于已知,求的取值范围；如图：当目标函数过点时取得最大值，最大值为3；当目标函数过点时取得最小值，最小值为；即：的取值范围是. 21为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解
12、本次竞赛成绩情况，从中抽取部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：(1)若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000,001,002，799，试写出第二组第一位学生的编号；(2)求频率分布表格中a,b的值，并估计800学生的平均成绩；(3)若成绩在8595分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？【答案】(1) 800名学生分为50组，每组学生的人数为所以第二组第一位学生的编号为016.(2)a=8；b=0.28.平均成绩约为82.6.(3)在被抽到的学生中获二等奖的人数9716(人)，占样本的比例是
13、eq f(16,50)0.32，即获二等奖的概率为32%，所以获二等奖的人数估计为80032%256(人)答：获二等奖的大约有256人【解析】本题主要考查抽样方法及利用频率分布直方表估计数字特征,意在考查考生的处理信息的能力；（1）根据系统抽样每一组只抽取一个个体的特点，每组人数为人，进而可求出第二组第一位学生的编号为016；（2）根据公式：频率=；可得：，即：；依据频数和为50，可得：90100的频数为14，再用上面的公式可算出：；由频率和为1，可解得7080的频率为0.2，套公式；（3）假设每一组的组内是均匀的，8590分的学生的人数应占8090分学生人数的一半，即：9人；同理：9095分
14、的学生的人数应占90100分学生人数的一半，即：7人，故在被抽到的50人中：8595分的学生的人数大概为16人；即获二等奖的概率为32%，所以总人数中获二等奖的人数大约为人. 22已知an是单调递增的等差数列，首项a13，前n项和为Sn，数列bn是等比数列，首项b11，且a2b212，S3b220.(1)求an和bn的通项公式；(2)设cnanbn，求cn的前n项和Tn.【答案】(1)设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，则a2b2(3d)q12，S3b23a2b23(3d)q93dq20，3dq11，q113d，则(3d)(113d)332d3d212，即3d22d210，(3d7)(d
15、3)0.an是单调递增的等差数列，d0，d3，q2，an3(n1)33n，bn2n-1.(2)cnanbn3n2n-1,Tn3120+3221+3322+3(n-1)2n-2+3n2n-1,2Tn3121+3222+3(n-1)2n-1+3n2n ,-Tn3+3(21+22+2n-1)- 3n2n=3- 3n2n=32n-3- 3n2n=-3-32n(n-1),Tn3+32n(n-1).【解析】本题主要考查等差数列与等比数列的基本知识及常见的求和方法,意在考查考生的应用求解能力.（1）根据等差数列与等比数列的通项公式，列出两个方程，可以求出公差，由an是单调递增的等差数列，可得：d0；确定d3
16、，q2；进而求出，an3(n1)33n，bn2n-1；（2）由于通项公式cnanbn3n2n-1是等差乘以等比的形式，应采用错位相消法求和. 23ABC中,角A,B,C所对边分别是a,b,c且cosA.(1)求cos2cos2A的值;(2)若a,求ABC面积的最大值.【答案】(1)(2)由余弦定理得，.,当且仅当时有最大值，由(1)知又由三角形面积公式知ABC面积的最大值为【解析】本题主要考查三角形内角和定理、诱导公式、余弦定理及均值不等式等知识,意在考查考生的综合应用能力.（1）先利用二倍角公式将原式cos2cos2A转化成，由内角和定理；然后代数求解即可；（2）由三角形面积公式bc,再由余
17、弦定理知：，然后用均值定理求的最大值即可. 24向量a(2，2)，向量b与向量a的夹角为，且ab2.(1)求向量b；(2)若t(1，0)，且bt，c，其中A、B、C是ABC的内角，若ABC的内角A、B、C依次成等差数列，试求|bc |的取值范围【答案】(1)设b(x，y)，则ab2x+2y=-2，且ab|a| b |cos,得-22(-)| b |，x2+y21，得或,b(1，0)或b(0，1).(2)bt，t(1，0)，b(0，1),A、B、C依次成等差数列，B，A+Cbc(cosA,2cos2-1)(cosA,cosC),| bc |2cos2A+cos2C1+(cos2A+cos2C)1
18、+(cos2A+cos(-2A)1+(cos2A-cos2A-sin2A)1+cos(2A+),2A+(,)，1cos(2A+),即| bc |2,| bc |2.【解析】本题主要考查平面向量的数量积公式、向量垂直的判定及三角函数的值域,意在考查考生的分析求解能力.(1)先设b(x，y)，根据向量数量积的坐标运算公式得2x+2y=-2，再依据向量数量积运算的定义式得：x2+y21；联立可求出向量b；(2)由于(1)得到的是两个结果，首先根据bt，确定b(0，1)；代入模长公式可得：| bc |2cos2A+cos2C1+(cos2A+cos2C)，然后根据A、B、C依次成等差数列，可得B，A+
19、C，统一变量，得到关于角A的一个函数，然后求值域即可. 25已知二次函数f(x)满足f(x+1)f(x)2x-1，且f(0)3.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数yf(log3x+m)，的最小值为3，求实数m的值；(3)若对任意互不相同的x1,x2(2,4)，都有|f(x1)-f(x2)|k|x1-x2|成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)设f(x)ax2+bx+c，则f(x+1)a(x+1)2+b(x+1)+c,f(x+1)f(x)2x-1，a=1,b= -2,c=3，即：f(x)x2-2x+3.(2) 令t= log3x+m，则tm-1,m+1，则yf(log3x+m)f(t)t2-2t+3(t-1)2+2.当1m-1,即m2时，则f(m-1)3,解得m3当1m+1,即m0时，则f(m+1)3,解得m-1当m-11m+1,即0m2时，f(1)3不成立，所以m-1或m3.(3) |f(x1)-f(x2)|k|x1-x2|等价于|x1-x2|x1+x2-2|x1+x2-2|等价于k|x1+x2-2|max,x1,x2(2,4)且x1x2，|x1+x2-2|x1+x2-2|，求|x1+x2-2|的最大值即可.
