1、第二部分 讲练篇 专题五 解析几何第2讲 圆锥曲线的定义、方程及性质自 主 练 考 点 整 合 做小题激活思维1已知椭圆 C 的焦点在 y 轴上，焦距等于 4，离心率为 22，则椭圆 C 的标准方程是()A.x216y2121 B.x212y2161C.x24y281 D.x28y241C 由题意可得 2c4，故 c2，又 e2a 22，解得 a2 2，故 b 2 22222，因为焦点在 y 轴上，故椭圆 C 的标准方程是x24y281.2设 F1，F2 是椭圆x249y2241 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF1|PF2|43，则PF1F2 的面积为()A30B25C24D40C|PF
2、1|PF2|14，又|PF1|PF2|43，|PF1|8，|PF2|6.|F1F2|10，PF1PF2，SPF1F212|PF1|PF2|128624.3过点 F(0,3)且和直线 y30 相切的动圆圆心的轨迹方程为()Ay212xBy212xCx212yDx212yD 由抛物线的定义知，过点 F(0,3)且和直线 y30 相切的动圆圆心的轨迹是以点 F(0,3)为焦点，直线 y3 为准线的抛物线，故其方程为 x212y.4.点 M(1,1)到抛物线 yax2 准线的距离为 2，则 a 的值为()A14B 112C14或 112D14或 112C 抛物线 yax2 化为 x21ay，它的准线方
3、程为 y 14a，点M(1,1)到抛物线 yax2 准线的距离为 2，可得1 14a 2，解得 a14或 112.5“k9”是“方程x225k y2k91 表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A 因为方程x225k y2k91 表示双曲线，所以(25k)(k9)0，所以 k9 或 k25，所以“k9”是“方程x225k y2k91 表示双曲线”的充分不必要条件，故选 A.6已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 52，则 C的渐近线方程为()Ay14xBy13xCy12xDyxC 因双曲线方程 C：x2a2y2b21(a0，b0
4、)的离心率为 52，则 e2c2a2a2b2a21b2a254，即b2a214，ba12，又因为双曲线的焦点在 x 轴上，所以渐近线方程为 y12x，故选 C.扣要点查缺补漏1椭圆的定义标准方程及几何性质(1)定义：|PF1|PF2|2a；如 T2.(2)焦点三角形的面积：SPF1F2b2tan 2.(3)离心率：eca1b2a2；如 T1.(4)焦距：2c.(5)a，b，c 的关系：c2a2b2.2双曲线x2a2y2b21(a，b0)的几何性质(1)离心率 eca1b2a2；(2)渐近线：ybax.3抛物线的定义、几何性质(1)如图，|MF|MH|.如 T3，T4.(2)已知抛物线 y22p
5、x(p0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)为抛物线上的点，F 为焦点焦半径|CF|x1p2；过焦点的弦长|CD|x1x2p 2psin2；x1x2p24，y1y2p2.1|FC|1|FD|2p.4方程 Ax2By21 表示的曲线(1)表示椭圆：A0，B0 且 AB；(2)表示圆：AB0；(3)表示双曲线 AB0；如 T5.(4)表示直线：A0 且 B0 或 A0 且 B0.研 考 题 举 题 固 法 圆锥曲线的定义、标准方程(5 年 5 考)高考解读 以抛物线、双曲线、椭圆的定义和标准方程为载体，以定义转化为媒介，通过平面几何图形中的几何等量关系、待定系数法、解三角形的有关知识等求得相应曲
6、线的标准方程，体现了等价转化和方程的求解思想.1(2016全国卷)已知方程x2m2ny23m2n1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是()A(1,3)B(1，3)C(0,3)D(0，3)A 若双曲线的焦点在 x 轴上，则m2n0，3m2n0.又(m2n)(3m2n)4，m21，1n0，3n0，1n3m2 且 n0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A，B，交其准线于点 C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线方程为()Ay29xBy26xCy23xDy2 3xC 法一：如图，分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D，设BF a，则由已知
7、得BC 2a，由抛物线定义，得BD a，故BCD30，在 RtACE 中，AE|AF|3，AC 33a，2AE AC，即 33a6，从而得 a1，FC 3a3.pFG 12FC 32，因此抛物线方程为 y23x，故选 C.法二：由法一可知CBD60，则由|AF|p1cos 603可知p3112 32，2p3，抛物线的标准方程为y23x.3(轨迹问题)ABC的两个顶点为A(4,0)，B(4,0)，ABC的周长为18，则C点轨迹方程为()A.x216y291(y0)B.y225x291(y0)C.y216x291(y0)D.x225y291(y0)D ABC的两顶点A(4,0)，B(4,0)，周长
8、为18，|AB|8，|BC|AC|10.108，点C到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆2a10,2c8，即a5，c4，b3.C点的轨迹方程为x225y291(y0)故选D.圆锥曲线的几何性质(5年10考)高考解读 该考点是高考的核心热点之一，主要考查考生数形结合思想和化归与转化思想的应用，考查数学运算，直观想象的核心素养.1一题多解(2018全国卷)双曲线 x2a2 y2b21(a0，b0)的离心率为 3，则其渐近线方程为()Ay 2x By 3xCy 22 xDy 32 xA 法一：由题意知，eca 3，所以 c 3a，所以 b c2a2 2a，所
9、以ba 2，所以该双曲线的渐近线方程为 ybax 2x，故选 A.法二：由 eca1ba2 3，得ba 2，所以该双曲线的渐近线方程为 ybax 2x，故选 A.2(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14D 由题意可得椭圆的焦点在 x 轴上，如图所示，设|F1F2|2c，PF1F2 为等腰三角形，且F1F2P120，|PF2|F1F2|2c.|OF2|c，点 P 坐标为(c2ccos 60，2csin 60)，即
10、点 P(2c，3c)点 P 在过点 A，且斜率为 36 的直线上，3c2ca 36，解得ca14，e14，故选 D.3(2016全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4 2，|DE|2 5，则C的焦点到准线的距离为()A2B4C6D8B 设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4 2，|DE|2 5，抛物线的准线方程为xp2，不妨设A4p，2 2，Dp2，5.点A4p，2 2，Dp2，5 在圆x2y2r2上，16p28r2，p24 5r2，16p28p24 5，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.1椭圆、双曲线的
11、离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求ca的值 2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得(2)用法：可得ba或ab的值 利用渐近线方程设所求双曲线的方程1(求离心率的取值范围)已知F1，F2是椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是()A.55，1B.22，1C.0，55D.0，22B F1，F2是椭圆 x2a2 y2b2 1(a0，b0)的左、右两个焦点，F1(c,0)，F2
12、(c,0)，c2a2b2.设点P(x，y)，由PF1PF2，得(xc，y)(xc，y)0，化简得x2y2c2.联立方程组x2y2c2，x2a2y2b21，整理得，x2(2c2a2)a2c20，解得 e 22.又 0e1，22 e1.2(求离心率的值)已知椭圆M：x2a2 y2b2 1(ab0)，双曲线N：x2m2 y2n2 1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_31 2 如图是一个正六边形，A，B，C，D 是双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M的四个交点，F1，F2 为椭圆 M 的两个焦点 直线 AC 是双
13、曲线 N 的一条渐近线，且其方程为 y 3x，nm 3.设 mk，则 n 3k，则双曲线 N 的离心率 e2k2 3k2k2.连接 F1C，在正六边形 ABF2CDF1中，可得F1CF290，CF1F230.设椭圆的焦距为 2c，则|CF2|c，|CF1|3c，再由椭圆的定义得|CF1|CF2|2a，即(31)c2a，椭圆 M 的离心率 e1ca2312 31 31 31 31.3(圆锥曲线的性质与函数交汇)若点O和点F(2,0)分别为双曲线 x2a2 y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP FP的取值范围为_32 3，)由题意，得22a21，即a 3，设P(x，y
14、)，x 3，FP(x2，y)，则OP FP(x2)xy2x22xx231 43x34274，因为x 3，所以OP FP的取值范围为32 3，)4(与向量交汇考查几何性质)在椭圆x24y221上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有F1P F2P 1，则F1P 与F2Q 的夹角余弦值的范围为_1，13 设P(x，y)，则Q点(x，y)，椭圆x24y221的焦点坐标为(2，0)，(2，0)，F1P F2P 1，x22y21，结合x24y221，可得y21,2 故F1P 与F2Q 的夹角满足：cos F1P F2Q|F1P|F2Q|x22y2x22y228x2 23y2y22 38y221，13.直线
15、、圆与圆锥曲线的交汇问题(5年6考)高考解读 以直线与圆锥曲线或以圆与圆锥曲线的位置关系为载体，考查曲线方程的求解等问题，体现了数形结合的思想和等价转化的能力.1(2013全国卷)已知椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.x245y2361 B.x236y2271C.x227y2181 D.x218y291D 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2y21b21，x22a2y22b21.得x1x2x1x2a2y1y2y1y2b2.y1y2x1x2b2x1x2a2y1y2.x1x22，y
16、1y22，kABb2a2.而kAB013112，b2a212，a22b2，c2a2b2b29，bc3，a3 2，E的方程为x218y291.2(2019全国卷)设F为双曲线C：x2a2 y2b2 1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A.2B.3C2 D.5A 令双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c,0)，则c a2b2.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，则|OP|a，|OM|MP|c2，由|OM|2|MP
17、|2|OP|2，得c22c22a2，ca 2，即离心率e 2.故选A.3(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由ykx1，y24x得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x22k24k2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)4k24k2.由题设知4k24k28，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,
18、2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 y0 x05，x012y0 x012216，解得x03，y02或x011，y06.因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.1在研究直线与圆锥曲线位置关系时，常涉及弦长、中点、面积等问题一般是先联立方程，再根据根与系数的关系，用设而不求，整体代入的技巧进行求解2处理圆与圆锥曲线相结合问题的注意点 注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等 提醒：“点差法”是解决中点弦问题的捷径，但必要时需要检
19、验1(面积问题)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A.3 34B.9 38C.6332D.94D 易知直线AB的方程为y 33 x34，与y23x联立并消去x，得4y212 3y90.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y23 3，y1y294.SOAB12|OF|y1y2|1234 y1y224y1y238 27994.故选D.2(弦长问题)若双曲线y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线与抛物线yx21相切，且被圆x2(ya)21截得的弦长为 2，则a()A.52B.102C.5D.10B 可以设切点为(x0
20、，x 20 1)，由y2x，切线方程为y(x 201)2x0(xx0)，即y2x0 xx201，已知双曲线的渐近线为yabx，x2010，ab2x0，x01，ab2，一条渐近线方程为y2x，圆心(0，a)到直线y2x的距离是 a5 22 a 102.故选B.3.(最值问题)如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2,4)，圆C2：x2y24x30，过圆心C2的直线l与抛物线和圆C2分别交于点P，Q和M，N，则|PN|4|QM|的最小值为()A23B42C12D52A 由题意可设抛物线C1的方程为y22px(p0)，因为抛物线C1过点(2,4)，所以162p2，解得p4，所以
21、抛物线C1的方程为y28x.圆C2：x2y24x30整理得(x2)2y21，可知圆心C2(2,0)恰好是抛物线y28x的焦点，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)当直线l的斜率不存在时，l：x2，所以P(2,4)，Q(2，4)，于是|PN|4|QM|PC2|C2N|4|QC2|4|C2M|PC2|4|QC2|5444525.当直线l的斜率存在时，易知斜率不为0，可设l的方程为yk(x2)(k0)，由ykx2，y28x，得k2x2(4k28)x4k20，则0，且x1x24，即x24x1.所以|PN|4|QM|PC2|4|QC2|5x124(x22)5x14x215x116x1152x116x11581523，当且仅当x116x1，即x14时等号成立 因为2325，所以|PN|4|QM|的最小值为23.故选A.Thank you for watching!
