1、(总分：150射洪中学高2021级2022年下期第一次学月考试数学试题(理科)分考试时间：120 分钟)命题人：宋光辉 林毅审题人：杨勇 文质彬 郭益校对人：高华英第 I 卷一、选择题(本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分)1.已知直角梯形 ABCD，现绕着它的较长底 CD 所在的直线旋转一周，所得的几何体包括()A.一个圆柱、一个圆锥B.一个圆柱、两个圆锥C.一个圆台、一个圆柱D.两个圆柱、一个圆台2.如图所示，点 A、线 m、面 之间的数学符号语言关系为()A.m ，A mB.m ，A mC.m ，A mD.m ，A m3.如图，将无盖正方体纸盒展开，直线 AB，CD 在原正
2、方体中的位置关系是()A.平行B.相交且垂直C.相交成 60D.异面直线4.已知 a，b，l 表示不同的直线，表示不同的平面，则下列说法正确的是()A.若 a b，b ，则 a B.若 ，a ，b ，则 a bC.若 l a，l b，a ，b ，则 l D.若 ，=a，l ，l a，则 l 5.如图，已知等腰直角三角形 OAB，OA=AB 是一个平面图形的直观图，斜边 OB=2，则这个平面图形的面积是()O B 45A x y 5 题图6 题图ABCDA1B1C1D1EFA.22B.1C.2D.2 26.如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别为棱 CC1、AB
3、 的中点，则 EF 与平面 ABCD所成角的正弦值是()A.12B.66C.33D.55A mABCD高二理数17.一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.8B.83C.43D.3238.已知圆锥的表面积为 6cm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为()A.3 22cmB.2cmC.3cmD.2 3cm9.已知 P 是 ABC 所在平面外一点，PA，PB，PC 两两垂直，且 P 在 ABC 所在平面内的射影 H 在 ABC内，则 H 一定是 ABC 的()A.内心B.外心C.垂心D.重心10.如图，平面 平面，A ，B ，AB 与两平面、所成的角分别为 4 和 6
4、过 A、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 A、B，则 AB：AB=()A.2：1B.3：1C.3：2D.4：311.已知三棱锥 P-ABC 的各顶点都在同一球面上，且 PA 平面 ABC，若该棱锥的体积为 2 33，AB=2，AC=1，BAC=60，则此球的表面积等于()A.5B.8C.16D.2012.已知 P-ABC 是正四面体(所有棱长都相等的四面体)，E 是 PA 中点，F 是 BC 上靠近 B 的三等分点，设EF 与 PA、PB、PC 所成角分别为、，则()A.B.C.D.222正视图侧视图俯视图ABA B BCPAFE高二理数2第 II 卷(非选择题)二、填空题(本题共 4 道小
5、题，每小题 5 分，共 20 分)13.正方体 ABCD-A1B1C1D1的 12 条棱中，与 AB 异面的棱有条14.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，AA1=1，E,F 分别是 BC,DC 中点，则异面直线 AD1与 EF 所成角大小为.ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1M14 题图15 题图16 题图8 cm16cmEF15.玉璧是我国传统的玉礼器之一，也是“六瑞”之一，象征着吉祥等寓意.穿孔称作“好”，边缘器体称作“肉”.尔雅 释器“肉倍好谓之璧，好倍肉谓之瑷，肉好“若一谓之环”.一般把体形扁平周边圆形中心有一上下垂直相透的圆孔的器物称为璧.如图所示，某玉璧通
6、高 2.5cm，孔径 8cm.外径 16cm，则该玉璧的体积为cm3.16.如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，M 是侧面 BBC1B1内的动点，满足 AM BD1，若AM 与平面 BCC1B1所成的角为，则 tan 的最大值为二、解答题(本题共 6 道小题,第 17 题 10 分，第 18-22 题各 12 分，共 70 分)17.在四面体 A-BCD 中，E，F，M 分别是 AB，BC，CD 的中点，且 BD=AC=2，EM=1.(1)求证：EF 平面 ACD；(2)求异面直线 AC 与 BD 所成的角.ABCDEFM18.如图，在正三棱锥 P-ABC 中，PA=3
7、,AB=2(1)求此三棱锥的侧面积；(2)若 M 是侧面 PBC 上一点，试在平面 PBC 上过点 M 画一条与棱 PA 垂直的直线，并说明理由ABCPM高二理数319.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA 平面 ABCD，E 为 PA 的中点，F 为 BC 的中点，底面 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O求证：(1)平面 EFO 平面 PCD；(2)平面 PAC 平面 PBD20.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA 平面 ABCD，PA=AD=1，E，F 分别是PB，AC 的中点(1)证明：EF 平面 PCD；(2)求三棱锥 E-ABF 的体积2
8、1.如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1(侧棱垂直于底面)中，AC BC，AB=2 2，BC=2，AA1=2.(1)证明：A1C 平面 AB1C1；(2)若 D 是 CC1的中点，在线段 AB 上是否存在一点 E使 DE 平面 AB1C1？若存在，请确定点 E 的位置；若不存在，也请说明理由.22.如图 1，在边长为 4 的菱形 ABCD 中，DAB=60，点 M，N 分别是边 BC，CD 的中点，AC BD=O1，AC MN=G沿 MN 将 CMN 翻折到 PMN 的位置，连接 PA，PB，PD，得到如图 2 所示的五棱锥 P-ABMND(1)在翻折过程中是否总有平面 PBD 平面 PAG
9、？证明你的结论；(2)当四棱锥 P-MNDB 体积最大时，求直线 PB 和平面 MNDB 所成角的正弦值；(3)在(2)的条件下，在线段 PA 上是否存在一点 Q，使得二面角 Q-MN-P 余弦值的绝对值为1010？若存在，试确定点 Q 的位置；若不存在，请说明理由ABCDO1MNGP CABMNGDO1图 1图 2ABCDEFOPABCDEFPABCDA1B1C1高二理数41射洪中学高 2021 级高二上期第一次月考数学试题（理科）参考答案一、选择题123456789101112ABCDDBBBCADD12.【解析】分别取 AB 中点G，AC 中点 H，连结 GE，GF，EH，FH，AF，如
10、图所示，则FEA ，FEG ，FEH ，2aEH，2aEG，aFG613由 PABC是正四面体（所有棱长都相等的四面体），设正面体的棱长为 a根据余弦定理可得2279AFa，22736GFa22222719494cos22aaEFaEFaEF aEF，22222743618cos22aaEFaEFaEF aEF，aEFaEFaEFaaEF|912|236134cos22222 coscoscos，且，为锐角二、填空题2.16120.1560.144.130216.如图，连接,AB B C AC BD，由于 ABCDA B C D 为正方体，得 DD 平面 ABCD，则 D DAC，又因为 BD
11、AC，且 BDDDD，可得 AC 平面 BDD，则 BDAC，同理 BDAB，又 ACABA，得 BD 平面 AB C，因为 AMBD，且 AM 平面 AB C，又因为 M 平面 BCC B，所以点 M 在 B C上移动，因为 AB 平面 BCC B，所以AMB ，在 Rt AMB中，tanABBM，当 BM 最小时，tan 最大，即当 BMB C时，BM 最小，此时3 22BC BBBMB C，所以 tan 的最大值为323 22，故答案为：2.三、解答题ACDEFACDACACDEFACEFBCABFE面面，面中点分别为/,)1.(17（2）由（1）知/EF AC.F，M 分别是 BC，C
12、D 的中点，可得/FM BD.EFM即为异面直线 AC 与 BD 所成的角（或其补角）.在EFM中，EFFMEM1，EFM为等边三角形EFM60，.3 分.5 分.7 分.9 分3即异面直线 AC 与 BD 所成的角为 60.18.（1）解：取 BC 的中点O，连接,OA OP，则9 12 2,4 13OPOA ，故12 2 22 22PACPABPBCSSS，所以正三棱锥 PABC的侧面积为26；（2）过点 M 作直线 EFBC，则 EF 为所求直线理由如下：在正三棱锥 PABC中，O为 BC 的中点，则,OABC OPBC，又,OAOPO OA OP 平面OAP，BC 平面OAP，又 PA
13、 平面OAP，PABC，又 EFBC，EFPA.19.证明：（1）E 为 PA 的中点，O 为 AC 的中点/EOPC又 EO 平面 PCD，PC 平面 PCD/EO平面 PCD同理可证，/FO平面 PCD，又EFOFOEFOEOOFOEO面面,平面/EFO平面 PCD（2）PA 平面 ABCD，BD 平面 ABCD.10 分.5 分.6 分.9 分.10 分.12 分.2 分.3 分.5 分.6 分4 PABD底面 ABCD 是菱形 ACBD，又 PAACA BD 平面 PAC又 BD 平面 PBD平面 PAC 平面 PBD 20.（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，F 是 AC 的中点
14、，B，F，D 三点共线，且 F 是 BD 的中点，又 E 是 PB 的中点，/EF PD，又 EF 平面 PCD，PD 平面 PCD，/EF平面 PCD（2）PA 平面 ABCD，E 是 PB 的中点，E到平面 ABCD 的距离为 1122PA，四边形 ABCD 是正方形，1AB，1144ABFABCDSS正方形，三棱锥 EABF的体积为：111413422EABFV 21（1）由题意，三棱柱111ABCA B C为直三棱柱1CCBC，又 ACBC，1ACCCC，AC 平面11ACC A，1CC 平面11ACC A，BC 平面11ACC A，又1AC 平面11ACC A.8 分.9 分.10
15、分.12 分.4 分.6 分.8 分.10 分.12 分.2 分51BCAC，又11BCB C，111B CAC，在 Rt ABC中，2 2AB，2BC，ACBC，2AC，又12AA，四边形11ACC A 为正方形11ACAC.1111B CACC，11B C 平面11AB C，1AC 平面11AB C，1AC 平面11AB C.（2）当点 E 为 AB 的中点时，DE 平面11AB C.证明如下：取1BB 的中点 F，分别连接 EF，FD，DE，E，F 分别为 AB，1BB 的中点1EFAB又1AB 平面11AB C，EF 平面11AB C EF平面11AB C，D，F 分别是直三棱柱111
16、ABCA B C侧棱1CC，1BB 的中点11DFB C，又 DF 平面11AB C，11B C 平面11AB C DF 平面11AB C，又 EFDFFI，EF 平面 DEF，DF 平面 DEF平面 DEF 平面11AB C.又 DE 平面 DEF DE 平面11AB C.4 分.7 分.9 分.3 分.6 分.10 分.11 分.12 分622.（1）在翻折过程中总有平面 PBD 平面 PAG，证明如下：点 M，N 分别是边CD，CB 的中点，又60DAB，BDMN，且 PMN是等边三角形，G 是 MN 的中点，MNPG，菱形 ABCD的对角线互相垂直，BDAC，MNAC，ACPGG，AC
17、 平面 PAG，PG 平面 PAG，MN 平面 PAG，BD 平面 PAG，BD 平面 PBD，平面 PBD 平面 PAG（2）由题意知，四边形 MNDB 为等腰梯形，且4DB，2MN，13O G，所以等腰梯形 MNDB 的面积2433 32S，要使得四棱锥 PMNDB体积最大，只要点 P 到平面 MNDB 的距离最大即可，当 PG 平面 MNDB 时，点 P 到平面 MNDB 的距离的最大值为3，直线 PB 和平面 MNDB 所成角的为PBG，连接 BG，在直角三角形 PBG中，3PG，7BG，由勾股定理得：2210PBPGBG330sin1010PGPBGPB的平面角为二面角面面又面面）知
18、，：由（几何法法PMNQPQGQGMNPAGQGPAGMNMNPGAGPGABMNDMNAGABMNDPG,2)(1)3(.1 分.2 分.3 分.4 分.5 分.8 分.6 分.9 分7的中点为为锐角，又由题可得中，在PAQPQQGAQGQPPGNPGQPAGPGQPAGPAGPAPGAGPGQAGQPAGRtPGQ1010303sin303,331010cossin1010|cos|法 2：（空间直角坐标系法）假设符合题意的点Q 存在以G 为坐标原点，GA，GM，GP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 3 3,0,0A，0,1,0M，0,1,0N，0,
19、0,3P，由（2）知，AGPG，又 AGMN，且 MNPGG，MN 平面 PMN，PG 平面 PMN，AG 平面 PMN，.10 分.12 分8故平面 PMN 的一个法向量为11,0,0n ur，设 AQAP（01），3 3,0,3AP ，3 3,0,3AQ，故3 3 1,0,3，0,2,0NM，3 31,1,3QM，平面QMN 的一个法向量为2222,nxy z，则20nNM，20nQM，即222220,3 3130,yxyz令21z ，所以220,31yx211,0,1,0,313131n，则平面QMN 的一个法向量,0,31n，设二面角QMNP的平面角为，则122110cos1091n nn n ，解得：12，故符合题意的点Q 存在且Q 为线段 PA 的中点.9 分.10 分.11 分.12 分
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