1、第43练归纳与类比推理题型一利用归纳推理求解相关问题例1如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴，则第2 014个图形用的火柴根数为()A2 0122 015 B2 0132 014C2 0132 015 D3 0212 015破题切入点观察图形的规律，写成代数式归纳可得答案D解析由题意，第1个图形需要火柴的根数为31；第2个图形需要火柴的根数为3(12)；第3个图形需要火柴的根数为3(123)；由此，可以推出，第n个图形需要火柴的根数为3(123n)所以第2 014个图形所需火柴的根数为3(1232 014)3
2、3 0212 015，故选D.题型二利用类比推理求解相关问题例2如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c2a2b2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，截面面积为S，类比平面中的结论有_破题切入点由平面图形中各元素到空间几何体中各元素的类比答案S2SSS解析建立从平面图形到空间图形的类比，在由平面几何的性质类比推理空间立体几何的性质时，注意平面几何中点的性质可类比推理空间几何中线的性质，平面几何中线的性质可类比推理空间几何中面的性质，平面几何中面的性质可类
3、比推理空间几何中体的性质所以三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S2SSS.总结提高(1)归纳推理的三个特点归纳推理的前提是几个已知的特殊对象，归纳所得到的结论是未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围；由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否准确，还需要经过逻辑推理和实践检验，因此归纳推理不能作为数学证明的工具；归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助发现问题和提出问题(2)类比推理的一般步骤定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；推测，即用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
4、检验，即检验猜想的正确性，要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力1已知x0，观察不等式x22，x33，由此可得一般结论：xn1(nN*)，则a的值为()Ann Bn2 C3n D2n答案A解析根据已知，续写一个不等式：x44，由此可得ann.故选A.2在平面内点O是直线AB外一点，点C在直线AB上，若，则1；类似地，如果点O是空间内任一点，点A，B，C，D中任意三点均不共线，并且这四点在同一平面内，若xyz，则xyz等于()A0 B1 C1 D1答案B解析在平面内，由三角形法则，得，.因为A，B，C三点共线，所以存在实数t，使t，即t()，所以(1).因为
5、，所以，1，所以1.类似地，在空间内可得，1.因为，所以xyz1.故选B.3观察下列各式：553 125,5615 625,5778 125,58390 625,591 953 125，则52 014的末四位数字为()A3125 B5625 C0625 D8125答案B解析由观察易知55的末四位数字为3125,56的末四位数字为5625,57的末四位数字为8125,58的末四位数字为0625,59的末四位数字为3125，故周期T4.又由于2 01450342，因此52 014的末四位数字是5625.4观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于()
6、A28 B76 C123 D199答案C解析记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11；f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123，即a10b10123.5已知正三角形内切圆的半径是其高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是()A正四面体的内切球的半径是其高的B正四面体的内切球的半径是其高的C正四面体的内切球的半径是其高的D正四面体的内切球的半径是其高的答案C解析设正四面体的每个面的面积是S，高是h，内切球
7、半径为R，由体积分割可得：SR4Sh，所以Rh.故选C.6我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d .人们还用过一些类似的近似公式根据3.14159判断，下列近似公式中最精确的一个是()Ad Bd Cd Dd 答案D解析由V()3，得d ，设选项中常数为，则；A中代入得3.375，B中代入得3，C中代入得3.14，D中代入得3.142857，由于D中值最接近的真实值7(2013湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为
8、n2n，记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n，正方形数 N(n,4)n2，五边形数 N(n,5)n2n，六边形数 N(n,6)2n2n可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.答案1 000解析由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)n2n，N(10,24)100101 1001001 000.8两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin sin()0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin sin()sin()0.由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为_答案s
9、in sin()sin()sin()0解析由类比推理可知，四点等分单位圆时，与的终边互为反向延长线，与的终边互为反向延长线，如图9(2013陕西)观察下列等式121，12223，1222326，1222324210，照此规律，第n个等式可为_答案12223242(1)n1n2(1)n1解析观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(1)n1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，.设此数列为an，则a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n，各式相加得ana1234n，即
10、an123n.所以第n个等式为12223242(1)n1n2(1)n1.10如图1是一个边长为1的正三角形，分别连接这个三角形三边中点，将原三角形剖分成4个三角形(如图2)，再分别连接图2中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形(如图3)，依此类推设第n个图中原三角形被剖分成an个三角形，则第4个图中最小三角形的边长为_；a100_.答案298解析由三角形的生成规律得，后面的每一个图形中小三角形的边长均等于前一个图形中小三角形边长的，即最小三角形的边长是以1为首项，为公比的等比数列，则第4个图中最小三角形的边长等于1，由a2a1a3a2anan13可得，数列an是首项为1，公差
11、为3的等差数列，则a100a19931297298.11观察下列不等式：1，1，1，照此规律，第五个不等式为_答案1解析观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列第五个不等式为1.12(2013福建)当xR，|x|1时，有如下表达式：1xx2xn.两边同时积分得：1dxxdxx2dxxndxdx，从而得到如下等式：1()2()3()n1ln 2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法计算：CC()2C()3C()n1_.答案()n11解析设f(x)CxCx2Cx3Cxn1，f(x)CCxCx2Cxn(1x)n.f(1x)ndxn1(10)n1，即CC2C3Cn1.
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