1、第31讲 简单的线性规划问题第31讲 简单的线性规划问题 知识梳理 第31讲 知识梳理 1二元一次不等式表示的平面区域 以不等式的解_为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象 2坐标平面内的点与直线 l：AxByC0 的关系(1)点在直线 l 上点的坐标满足 AxByC0；(2)直线 l 的同一侧的点点的坐标使式子 AxByC 的值具有_的符号；(3)点 M、N 在直线 l 两侧M、N 两点的坐标使式子 AxByC 的值的符号_，即一侧都_，另一侧都_(x，y)相同 相反 大于0 小于0 3二元一次不等式所表示区域的确定方法 在直线l的某一侧取一特殊点，检验其坐标是否满足二
2、元一次不等式，如果满足，则这点_区域就是所求的区域；否则l的_就是所求的区域 第31讲 知识梳理 另一侧 所在的这一侧 第31讲 知识梳理 4线性规划问题的基本知识 可行解 最大值 最小值 要点探究 探究点1 二元一次不等式（组）所表示的平面区域第31讲 要点探究 例 1 2010石家庄二检 已知函数 f(x)的定义域为1，)，且 f(2)f(4)1，f(x)为 f(x)的导函数，函数 y f(x)的 图 象 如 图31 1所 示，则 不 等 式 组 x0，y0，f（2xy）1所表示的平面区域的面积是()A3 B4 C5 D.154 思路 根据导数的图象可以确定函数 f(x)的单调区间，进而确
3、定 2xy 的取值范围，这样不等式组 x0，y0，f（2xy）1表示一个平面区域，确定其形状，求出面积 第31讲 要点探究 答案 A第31讲 要点探究 解析 由导函数的图象可得 f(x)的单调增区间为(3，)，单调减区间为(1,3)又 f(2)f(4)1，f(2xy)1 可得 22xy4，则不等式组 x0，y0，22xy4所表示的可行域如图所示，其面积为122412123.正确选项为 A.第31讲 要点探究 2010北京卷 设不等式组 xy110，3xy30，5x3y90表示的平面区域为 D，若指数函数 yax的图象上存在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是()A(1,3 B2,3 C(1,
4、2 D3，)第31讲 要点探究 思路 画出平面区域，看什么情况下指数函数的图象有经过这个平面区域内的点，找到临界条件即可得到 a 的取值范围 答案 A第31讲 要点探究 解析 作出不等式组 xy110，3xy30，5x3y90所表示的平面区域 D，如图阴影部分所示，要使指数函数 yax的图象上存在区域 D 上的点，则有 a1，当指数函数 yax的图象过点 B(2,9)时相应的 a 值最大，此时 a3，即 a(1,3 第31讲 要点探究 探究点2 平面区域和解析几何、函数问题的综合第31讲 要点探究 例 2(1)2010福建卷 设不等式组 x1，x2y30，yx所表示的平面区域是 1，平面区域
5、2与 1关于直线 3x4y90 对称，对于 1中的任意点 A 与 2中的任意点 B，|AB|的最小值等于()A.285 B4 C.125 D2(2)设实数 x，y 满足 xy20，x2y50，y20，则 uxyx2y2的最小值是()A2 B.12 C.103 D.310 第31讲 要点探究 思路(1)从题目可以看出直线 3x4y90 与区域 1 一定没有公共点，根据几何意义可以想到所求的最小值就是区域 1中离直线 3x4y90 的最近的点到直线距离的 2 倍；(2)变换 u，可以把其中的yx看作基本量 t，则 u 就是 t 的函数，只要确定了 t的范围就可以根据函数的性质确定所求的最小值，而
6、ytx就是已知区域内的点和坐标原点连线的斜率，根据这个几何意义求 t 的取值范围 第31讲 要点探究 答案 (1)B(2)D 第31讲 要点探究 解析(1)由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域 1中的点到直线 3x4y90 的距离的最小值的两倍，画出已知不等式组表示的平面区域，如图所示，可看出点(1,1)到直线 3x4y90 的距离最小，故|AB|的最小值为 2|31419|54，所以选 B.第31讲 要点探究(2)如图，实数 x，y 的区域是ABC，其中点 A的坐标是(3,1)，点 C 的坐标是(1,2)，故 tyx的取值范围是13，2，故 u xyx2y2 1xyyx 1t1t，该关
7、于 t的函数 f(t)t1t在13，1 上单调递减，在1,2上单调递增，故其最小值为 1112，最大值为两个端点值中较大的一个，即 313103，故 u 的取值范围是310，12，即最小值是 310.第31讲 要点探究 第31讲 要点探究 画出不等式组 xy50，xy0，x3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出 x，y 的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？思路(1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分，但要注意是否包含边界(2)整点是指横、纵坐标均为整数的点 第31讲 要点探究 第31讲 要点探究 解答(1)不等式 x
8、y50 表示直线 xy50上及右下方的点的集合 xy0 表示直线 xy0 上及右上方的点的集合，x3 表示直线 x3 上及左方的点的集合 所以不等式组 xy50，xy0，x3表示的平面区域如图所示 结合图中可行域得 x52，3，y3,8 第31讲 要点探究(2)由图形及不等式组知 xyx5，2x3且xZ，当 x3 时，3y8，有 12 个整点；当 x2 时，2y7，有 10 个整点；当 x1 时，1y6，有 8 个整点；当 x0 时，0y5，有 6 个整点；当 x1 时，1y4，有 4 个整点；当 x2 时，2y3，有 2 个整点 平面区域内的整点共有 2468101242(个)探究点3 不含
9、实际背景的线性规划问题 第31讲 要点探究 例3(1)2010 浙 江 卷 若 实 数x、y满 足 不 等 式 组 x3y30，2xy30，xy10，则 xy 的最大值为()A9 B7 C1 D.715(2)2010安徽卷 设 x，y 满足约束条件 2xy20，8xy40，x0，y0，若目标函数 zabxya0，b0 的最大值为 8，则 ab 的最小值为()A5 B4 C8 D2 第31讲 要点探究 思路(1)画出可行域，令zxy，则z的几何意义就是直线zxy在y轴上的截距，通过图形观察其取最大值的点即可；(2)目标函数中z的几何意义是直线zabxy在y轴上的截距，通过观察直线的变化找到其取最
10、大值的点，根据最大值是8求出ab的值，进而根据均值不等式求出ab的最小值 答案 (1)A(2)B 第31讲 要点探究 解析(1)由可行域知，xy 取最大值时过 2xy30 与 xy10 的交点(4,5)，所以 xy 的最大值为 9.(2)a0，b0，所以目标函数过直线 2xy20 与 8xy40 的交点(1,4)时取得最大值，从而有 8ab4，即 ab4，所以 ab2 ab4，即 ab 的最小值为 4.第31讲 要点探究 第31讲 要点探究 已知变量 x，y 满足约束条件 x2y30，x3y30，y10，若目标函数 zaxy(其中 a0)仅在点(3,0)处取得最大值，则 a 的取值范围为_ 思
11、路 区域的顶点就有点(3,0)，目标函数是zaxy即yaxz是斜率为a的直线系，其中z就是这个直线系在y轴上的截距，这个最大值仅仅在点(3,0)，说明直线系经过点(3,0)且与不等式组所表示的平面区域没有其他的公共点，结合图形和直线斜率之间的关系解决或是根据目标函数在点(3,0)的值大于目标函数在其余顶点处的值列式解决 第31讲 要点探究 答案 12，第31讲 要点探究 解析 画出可行域如图所示，其中 B(3,0)，C(1,1)，D(0,1)，若目标函数 zaxy 取得最大值，如图所示，直线 yaxz 的斜率a 必然要小于直线 BC 的斜率12，即a12.本题也可以根据线性规划问题中目标函数取
12、最值的点必然是区域的顶点(或边界)进行解答，在三个顶点处，目标函数值分别为 3a，a1,1，要想目标函数取最值的点仅仅是点(3,0)就必需 3aa1 且 3a1，解得 a12.探究点4 含有实际背景的线性规划问题第31讲 要点探究 例 4 2010陕西卷 铁矿石 A 和 B 的含铁率 a，冶炼每万吨铁矿石的 CO2的排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如下表：某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁，若要求CO2的排放量不超过2万吨，则购买铁矿石的最少费用为_百万元 第31讲 要点探究 思路 决定铁矿石费用的是矿石A，B的购买数量，这就是问题中的变量，把各种要求按照这两个变量表示成不等式组即得可行域，
13、把费用用这两个变量表示即得目标函数，求解这个线性规划模型即可 答案 15解析 可设需 A 矿石 x 万吨，B 矿石 y 万吨，购买铁矿石的费用为 z 百万元，则线性约束条件为：x0，y0，0.5x0.7y1.9，x0.5y2.又 z3x6y 为目标函数，画出约束条件对应的可行域如图，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值，最小值为 zmin316215.第31讲 要点探究 第31讲 要点探究 第31讲 要点探究 2010四川卷 某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需
14、耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()A甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 D甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 第31讲 要点探究 思路 本题意义很明确，制约目标的两个变量就是甲、乙车间加工的原料箱数，按照这两个变量表示制约条件和求解目标即可 答案 B第31讲 要点探究 第31讲 要点探究 解析 设甲车间每天加工原料 x 箱，乙车间
15、每天加工原料 y 箱，每天获利为 z，则线性约束条件为 10 x6y480，xy70，xN，yN，目标函数为 z280 x200y.画出约束条件对应的可行域，如图，目标函数 z280 x200y 变式为 y7x5 z200，令 z0，将 y7x5 向上平移，当过直线 5x3y240 与 xy70 的交点(15,55)时，z 最大，故选 B.第31讲 要点探究 例5 2010广东卷 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需
16、要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？第31讲 要点探究 思路 儿童的午餐和晚餐数量确定了其花费，故以儿童的午餐和晚餐的数量为变量建立线性规划问题的数学模型，通过这个数学模型的解对实际问题作出答案 第31讲 要点探究 解答 设应当为该儿童预订 x 个单位的午餐，y 个单位的晚餐，所花的费用为 z，则依题意得 x，y满 足 条 件 12x8y64，6x6y42，6x10y54，xN，yN，即 3x2y160，xy70，
17、3x5y270，xN，yN，第31讲 要点探究 目标函数为 z2.5x4y，作出二元一次不等式组所表示的平面区域(图略)，把 z2.5x4y 变形为 y58xz4，得到斜率为58，在 y 轴上的截距为z4，随 z 变化的一组平行直线由图可知，当直线 y58xz4经过可行域上的点 M(即直线 xy70 与直线 3x5y270 的交点)时截距最小，即 z 最小 解方程组 xy70，3x5y270，得点 M 的坐标为(4,3)，所以 zmin22.答：要满足营养要求，并花费最少，应当为该儿童分别预订 4 个单位的午餐，3 个单位的晚餐，所花的费用最少费用为 22 元 规律总结 第31讲 规律总结 1
18、二元一次不等式组所确定的平面区域是不等式组中各个不等式所表示的半平面区域的公共部分，画出平面区域的关键是把各个半平面区域确定准确，其基本方法是“直线定界、特殊点定域”2给定平面区域求解一些非线性目标的最值或范围时，要根据解析几何知识确定求解目标的几何意义，结合解析几何知识解决问题，适当变换求解目标可以使其几何意义更加明确、或者转化为函数问题解决 第31讲 规律总结 3线性规划问题是在约束条件是线性的、目标函数也是线性的情况下的一类最优问题，在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值，在解答选择题或者填空题时可以根据可行域的顶点直接进行检验 4含有实际背景的线性规划问题其关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数