1、宁夏六盘山高级中学2020届高三数学下学期第5次周练卷 文时间：2020年4月27日 16:2517:05班级_ 姓名_ 得分_（提示：这是你上学期做过的题目）1.已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值2.已知椭圆E：1(ab0)过点(0，)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线xmy1(mR)交椭圆E于A，B两点，判断点G(，0)与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由3. 设抛物线C：y22x，点A(2,0)，B(2
2、,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；证明：ABMABN.4.设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|F1B|.(1)若|AB|4，ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求椭圆E的离心率 答案：1. 解(1)由题意有，1，解得a28，b24.所以C的方程为1.(2)证明：法一：设直线l：ykxb1(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280.故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOM
3、k.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则得0，即.又y1y22y0，x1x22x0，kAB.kOMkAB.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值. 2. 解(1)过程略，椭圆E的方程为1.(2)点G(，0)在以线段AB为直径的圆内，解答如下：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为G(，0)，所以(x1，y1)，(x2，y2)联立xmy1与1，得(m22)y22my30，所以y1y2，y1y2，从而(x1)(x2)y1y2(my1)(my2)y1y2(m21)y1y2m(y1y2)0.3. 解当l与x轴垂
4、直时，l的方程为x2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，2)所以直线BM的方程为yx1或yx1.证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABMABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.由得ky22y4k0，可知y1y2，y1y24.直线BM，BN的斜率之和为kBMkBN.将x12，x22及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0.所以kBMkBN0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.4. 解(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1
5、|3，|F1B|1.因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.(2)设|F1B|k，则k0且|AF1|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)，化简可得(ak)(a3k)0.而ak0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2为等腰直角三角形从而ca，所以椭圆E的离心率e.
