1、第29讲 一元二次不等式的解法 第29讲 一元二次不等式的解法 1一元一次不等式的解法 一元一次不等式 axb(a0)的解集为：当 a0 时，解集为_ 当 a0 时，解集为_ 2一元二次不等式的解法(1)将不等式的右端化为 0，左端化为二次项系数大于零的不等式 ax2bxc0(a0)或 ax2bxc0(a0)(2)求出相应一元二次方程的根(3)利用二次函数的图象与_确定一元二次不等式的解集 知识梳理 第29讲 知识梳理 x xba x xba x轴的交点情况 第29讲 知识梳理 x|xx1或xx2 3一元二次不等式的解集 x|xx1 x|xR x|x1xx2 要点探究 探究点1 解一元二次不等
2、式第29讲 要点探究 例 1(1)2010广州模拟 不等式 x23x20 的解集是_(3)不等式 x2x10 的解集是_ 第29讲 要点探究 思路(1)根据小于零的不等式解集的情况确定；(2)变换不等式为分式不等式，根据不等式的性质转化为一元二次不等式；(3)使用求根公式求出方程 x2x10 的根，写出不等式的解集 第29讲 要点探究 答 案 (1)D (2)(，1)(2，)(3)1 52，1 52 第29讲 要点探究 解析(1)方程 x23x20 的解是 x11，x22.又函数 yx23x2 的图象开口向上，所以不等式 x23x20的解集为x|1x0，这个不等式等价于(x1)(x2)0，故其
3、解集是(，1)(2，)(3)方程 x2x10 的根是 x11 52，x21 52，故不等式 x2x10 的解集是1 52，1 52.第29讲 要点探究 2010湖南卷 若关于 x 的不等式12x22xmx 的解集是x|0 x2，则实数 m 的值是()A1 B2 C3 D4 第29讲 要点探究 思路 把不等式变换为12x2(m2)x0 后，根据一元二次不等式解的情况，如果该不等式的解集是x|0 xmx 的解集是x|0 x0 的解集为(0,2)，则关于 x 的方程12x2(2m)x0 的两根为 x0 或 x2，当 x0 时，12x2(2m)x0，等式恒成立；当 x2 时，解得 m1.故选 A.探究
4、点2 一元二次不等式恒成立问题第29讲 要点探究 例 2 设函数 f(x)mx2mx1.(1)若对一切实数 x，f(x)0 恒成立，求 m 的取值范围；(2)若对于 m2,2，f(x)m5 恒成立，求 x 的取值范围 思路 可以从函数的角度进行考虑，转化为函数求最值问题；也可从方程的角度考虑，可转化为对方程根的讨论 第29讲 要点探究 解答(1)解法一：要求 mx2mx10 恒成立 当 m0 时，f(x)10，显然成立；当 m0 时，应有 m0，m24m0，解得4m0.综上，m 的取值范围是4m0.解法二：f(x)0 对于一切实数 x 恒成立mx2mx10 恒成立 当 m0 时，f(x)10
5、时，mx2mx1x2x 对于一切实数x 恒成立，x2xx1221414，此时1mx2x 对于一切实数 x 不恒成立 第29讲 要点探究 当 m0 时，mx2mx10 恒成立1mx2x 对于一切实数x 恒成立，x2xx1221414，1m14，解得4m0.综上可知，m 的取值范围是4m0.(2)将 f(x)m5 变换成关于 m 的不等式 m(x2x1)60，则命题等价于 m2，2 时，gm mx2x1 60，g(m)在2,2上单调递增，只要 g(2)2(x2x1)60，即 x2x20，1x2.第29讲 要点探究 当 x(1,2)时，不等式 x2mx40 恒成立，则 m 的取值范围是_ 思路 可借
6、助于二次函数的图象，数形结合讨论相应二次函数的图象在相应区间上在x轴下方；也可以进行分离变量，转化为讨论函数的最值问题 答案 m5第29讲 要点探究 解析 解法一：设 f(x)x2mx4，则由二次函数的图象及一元二次方程 x2mx40 的根的分布知，f10，f20，即 m50，2m80.解得 m5.解法二：当 x(1,2)时，不等式 x2mx40 恒成立 mx24x，当 x(1,2)时恒成立 mx4x，当 x(1,2)时恒成立 令 g(x)x4x，x(1,2)，则 g(x)ming(1)5，m5.探究点3 含有参数的一元二次不等式的解法第29讲 要点探究 例 3 解关于 x 的不等式：ax2(
7、2a1)x20，a0，a0 的情况和方程 ax2(2a1)x20 两个根的大小进行分类求解 第29讲 要点探究 解答 不等式 ax2(2a1)x20，即(ax1)(x2)0 时，不等式可以化为x1a(x2)0.若 0a2，此时不等式的解集为2，1a；若 a12，则不等式为(x2)212，则1a2，此时不等式的解集为1a，2.第29讲 要点探究(2)当 a0 时，不等式即x20.此时不等式的解集为(2，)(3)当 a0.由于1a2，故不等式的解集为，1a(2，)综上所述：当 a0 时，不等式的解集为，1a(2，)；当 a0 时，不等式的解集为(2，)；当 0a12时，不等式的解集为1a，2.第2
8、9讲 要点探究 点评 本题是由不等式的求解法则而引发的分类讨论本题的分类首先根据 a0，a0，a0.思路 根据方程 x2xa0 的判别式，分为方程 x2xa0 无实根、有一个相等的实根、有两个不相等的实根，结合二次函数 f(x)x2xa 的图象，写不等式的解集 第29讲 要点探究 解答 方程 x2xa0 的判别式 14a.(1)当 14时，方程 x2xa0 无实根，此时不等式 x2xa0 的解集为 R；(2)当 0，即 a14时，方程 x2xa0 有两个相等的实根 x1x212，此时不等式 x2xa0 的解集为，12 12，；第29讲 要点探究(3)当 0，即 a0的解集为，1 14a21 1
9、4a2，.综上所述：当 a14时，不等式的解集为 R；当 a14时，不等式的解集是，1 14a21 14a2，.探究点4 一元二次不等式的实际应用第29讲 要点探究 例 4 2010浙江卷 某商家一月份至五月份累计销售额达3860 万元，预测六月份销售额为 500 万元，七月份销售额比六月份递增 x%，八月份销售额比七月份递增 x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等若一月份至十月份销售总额至少达 7000 万元，求 x 的最小值 解 答 由 题 意 可 得：3860 500 5001x%5001x%2 27000，解得 x20(负值舍去)，所以 x 的最小值是 20.规律总结 第29
10、讲 规律总结 1一元二次方程、一元二次不等式和二次函数是紧密相连的二次函数的图象从“形”上反映了一元二次方程的根和一元二次不等式解的情况，一元二次方程的根和一元二次不等式的解从“数”上反映了二次函数图象的位置在解决一元二次不等式问题时，要注意从函数与方程思想的角度考虑问题 2一元二次不等式在指定范围的恒成立(或者不等式在指定范围的恒成立)，其本质是这个不等式的解集包含着指定的区间解决这类问题的基本方法，一是引进函数关系后，通过函数图象实现数形结合；二是等价转化，转化为求函数的最值或是值域 第29讲 规律总结 3含有参数的一元二次不等式一般需要分类讨论在能够直接求出不等式对应方程根的情况下，根的大小是分类的标准；在需要使用求根公式才能确定不等式对应方程根的情况下，方程的判别式是分类的标准但不论是哪种情况都要首先考虑这个不等式二次项的系数 4不等式的实际应用问题的解题关键是建立起问题中的不等式，通过解不等式对实际问题作出结论
