1、4不等式的证明4.1比较法分析法1.已知a,bR,那么“a1,b1”是“ab+1a+b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:a+b-(ab+1)=a-ab+b-1=a(1-b)+(b-1)=(b-1)(1-a)=-(a-1)(b-1).若a1,b1,则-(a-1)(b-1)0,a+ba+b.反之,若a+bab+1,即-(a-1)(b-1)0,不一定有a1,b1.故选A.答案:A2.已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是()A.cbaB.acbC.cbaD.acb解析:c-b=4-4a+
2、a2,c-b=(a-2)20,cb.而由b+c=6-4a+3a2和c-b=4-4a+a2,两式相减,得2b=2+2a2,即b=1+a2,b-a=a2-a+1=a-122+340,ba,cba.故选A.答案:A3.设mn,x=m4-m3n,y=n3m-n4,则x,y的大小关系是()A.xyB.x=yC.x0,xy.答案:A4.设a=sin15+cos15,b=sin16+cos16,则下列各不等式正确的是()A.aa2+b22bB.aba2+b22C.baa2+b22D.ba2+b22a解析:a=sin15+cos15=2sin60,b=sin16+cos16=2sin61,aab=2sin60
3、2sin61=3sin612sin61=b,故ab2a;a2+b22(a-b-1);(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,其中,恒成立的有()A.3个B.2个C.1个D.0个解析:在中,a2+2-2a=(a-1)2+110,a2+22a成立.在中,a2+b2-2(a-b-1)=a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)20,当且仅当a=1且b=-1时,取等号.在中,(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=a2c2+b2c2+a2d2+b2d2-a2c2-2abcd-b2d2=b2c2+a2d2-2abcd=(bc-ad)20.故只有恒成立.答案:C6.设x=a2b2+
4、5,y=2ab-a2-4a,若xy,则实数a,b满足的条件是.解析:x-y=(ab-1)2+(a+2)2.因为xy,所以(ab-1)2+(a+2)20,则ab-10或a+20,即ab1或a-2.答案:ab1或a-27.设abc0,x=a2+(b+c)2,y=b2+(c+a)2,z=c2+(a+b)2,则x,y,z的大小关系为.解析:abc0,x0,y0,z0.而x2-y2=a2+b2+2bc+c2-(b2+c2+2ac+a2)=2bc-2ac=2c(b-a)0,x2y2,即xy.又y2-z2=b2+c2+2ac+a2-(c2+a2+2ab+b2)=2ac-2ab=2a(c-b)0,yz,xyz
5、.答案:xyy,则实数a,b应满足的条件是.解析:由xy,得a2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1)2+(a+2)20,故ab=1,a=-2,即a=-2,b=-12不同时成立.答案:a=-2,b=-12不同时成立9.已知a,b,cR+,用分析法证明2a+b2-ab3a+b+c3-3abc.证明:要证2a+b2-ab3a+b+c3-3abc,只需证a+b-2aba+b+c-33abc,即-2abc-33abc,即c+2ab33abc,由a,b,c为正数,有c+2ab=c+ab+ab33abc成立.故原不等式成立.10.某人乘出租车从A地到B地,有两种方案.第一种方案:乘起步价为10元,每千
6、米1.2元的出租车;第二种方案:乘起步价为8元,每千米1.4元的出租车.按出租车管理条例,在起步价内,不同型号的出租车行驶的路程是相等的,则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适?解:设从A地到B地的距离为m千米,起步价内行驶的路程为a千米.显然当ma时,选起步价为8元的出租车比较合适,即选择第二种方案比较合适.当ma时,设m=a+x(x0),乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元,乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元,则P(x)=10+1.2x,Q(x)=8+1.4x.P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x),当x10时,P(x)Q(x),此时选择起步价为10元的出租车较为合适,即选择第一种方案比较合适;当xQ(x),此时选择起步价为8元的出租车较为合适,即选择第二种方案比较合适;当x=10时,P(x)=Q(x),两种方案任选,费用相同.
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