1、三平面与圆锥面的截线1.下列说法不正确的是()A.圆柱面的母线与轴线平行B.圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面C.圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关,只与母线和斜线面的夹角有关D.平面截圆柱面的截线椭圆中,短轴长即为圆柱面的半径解析:显然A正确,由于任一轴面过轴线,故轴面与圆柱的直截面垂直,B正确,C显然正确,D中短轴长应为圆柱面的直径长,故不正确.答案:D2.设截面和圆锥的轴的夹角为,圆锥的母线和轴所成角为,当截面是椭圆时,其离心率等于() A.sinsinB.coscosC.sinsinD.coscos答案:B3.线段AB是抛物线的焦点弦.若A,B在抛物线准线上的正射影
2、分别为A1,B1,则A1FB1等于()A.45B.60C.90D.120解析:如图所示,由抛物线定义,知AA1=AF,AA1F=AFA1.又AA1EF,AA1F=A1FE,AFA1=A1FE,FA1是AFE的平分线.同理,FB1是BFE的平分线,A1FB1=12AFE+12BFE=12(AFE+BFE)=90.答案:C4.如图,F1,F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是()A.2B.3C.32D.62解析:椭圆C1中,|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=23.又因为四边形AF1B
3、F2为矩形,所以F1AF2=90.所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,所以|AF1|=2-2,|AF2|=2+2.所以在双曲线C2中,2c=23,2a=|AF2|-|AF1|=22,故e=ca=32=62,故选D.答案:D5.已知圆锥母线与轴夹角为60,平面与轴夹角为45,则平面与圆锥交线的离心率是,该曲线的形状是.解析:e=cos45cos60=21,曲线为双曲线.答案:2双曲线6.已知椭圆两条准线间的距离为20,长轴长为10,则短轴长为.解析:设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c.由2a=10,2a2c=20,得a=5,c=52,则2b=2a2-c2=53.答案:53
4、7.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是准线上一点,且PF1PF2,|PF1|PF2|=4ab,则双曲线的离心率是.解析:PF1PF2,P在以F1F2为直径的圆上.点P(x,y)满足x2+y2=c2,x2=a2c2.解得y2=c4-a4c2.|PF1|PF2|=|F1F2|y|,4ab=2cc4-a4c2,解得e=3.答案:38.已知圆锥面S,其母线与轴线所成的角为30,在轴线上取一点C,使SC=5,通过点C作一截面使它与轴线所成的角为45,截出的圆锥曲线是什么样的图形?求它的离心率及圆锥曲线上任一点到两个焦点的距离之和.解:椭圆.e=cos45co
5、s30=2232=63.设圆锥曲线上任意一点为M,其两焦点分别为F1,F2,如图,MF1+MF2=Q1Q2=AB.设圆锥面内切球O1的半径为R1,内切球O2的半径为R2,SO1=2R1,CO1=2R1,SC=(2+2)R1=5,即R1=5(2-2)2.SO2=2R2,CO2=2R2,SC=(2-2)R2=5,即R2=5(2+2)2.O1O2=CO1+CO2=2(R1+R2)=102,AB=O1O2cos 30=O1O232=56,即MF1+MF2=56.9.如图,已知圆锥母线与轴的夹角为,平面与轴线夹角为,Dandelin球的半径分别为R,r,且r,求平面与圆锥面交线的焦距F1F2,轴长G1G
6、2.解:连接O1F1,O2F2,O1O2交F1F2于O点.在RtO1F1O中,OF1=O1F1tanO1OF1=rtan.在RtO2F2O中,OF2=O2F2tanO2OF2=Rtan.F1F2=OF1+OF2=R+rtan.同理,O1O2=R+rsin.连接O1A1,O2A2,过O1作O1HO2A2.在RtO1O2H中,O1H=O1O2cos =R+rsincos .又O1H=A1A2,由切线定理,容易验证G1G2=A1A2,G1G2=R+rsincos .10.P是椭圆上的任意一点,设F1PF2=,PF1F2=,PF2F1=,椭圆离心率为e.求证:e=sinsin+sin,并写出在双曲线中类似的结论.证明:在PF1F2中,由正弦定理得PF1sin=PF2sin=F1F2sin,PF1=F1F2sinsin,PF2=F1F2sinsin.由椭圆定义,2a=PF1+PF2=F1F2sinsin+sinsin=F1F2sin+sinsin,e=ca=2c2a=F1F2F1F2sin+sinsin=sinsin+sin .对于双曲线的离心率e有:e=ca=sin|sin-sin|.
