1、第26讲 数列求和第26讲 数列求和 知识梳理 第26讲 知识梳理 求数列的前 n 项和，一般有下列几种方法：1等差数列的前 n 项和公式：Sn_.(其中 a1为首项，d 为公差)2等比数列的前 n 项和公式：(1)当 q1 时，Sn_；(2)当 q1 时，Sna1qn1qa1anq1q.(其中a1为首项，q 为公比)na1an2 na1nn12d na1 3分组求和：把一个数列分成_ _ 4裂项求和：有时把一个数列的通项公式分成_的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和 5错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列_求和 6倒序相加：例如等差数列前n项和公式的推导方法 第26讲 知识梳理
2、 两项差 几个可以直接求和的数列 对应项相乘构成的数列 7常见的裂项公式有：(1)1nn_；(2)1nn_；(3)1nnn_；(4)1a b_；(5)an_(n2)第26讲 知识梳理 1n 1n1 1212n112n1 121n（n1）1（n1）（n2）a bab SnSn1 要点探究 探究点1 公式法求和与分组法求和第26讲 要点探究 例1 已 知 数 列an的 通 项an 6nn为奇数，4nn为偶数，求 Sn.思路 该数列的奇、偶项分别是一个等差数列和一个等比数列，而且告诉了通项公式，求该数列前n项和可将该数列分解成两个已知数列分组求和 第26讲 要点探究 解答 易知奇数项中，a11，d1
3、2；偶数项中，a216，q16.当 n 为偶数时，an 中奇数项与偶数项各占n2项，所以有 SnS奇S偶n2a1n2n212d a21qn21q12(3n25n)115(4n216)当 n 为奇数时，奇数项总共有n12项，偶数项共有n12项，所以有 SnS 奇S 偶n12a1n12n1212d a21qn121q12(3n2n2)115(4n116)第26讲 要点探究 点评 在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和如下面的变式 第26讲 要点探究 2010重庆卷 已知an是首项为 19，公差为2 的等差数列，Sn
4、为an的前 n 项和(1)求通项 an及 Sn；(2)设bnan是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列bn的通项公式及其前 n 项和 Tn.第26讲 要点探究 思路 bn 是一个等比数列和一个等差数列对应项的和，故只要分别利用公式求出等比数列和等差数列的和即可 第26讲 要点探究 解答(1)因为an是首项为 a119，公差 d2 的等差数列，所以 an192(n1)2n21，Sn19nnn12(2)n220n.(2)由题意 bnan3n1，所以 bn3n12n21，TnSn(133n1)n220n3n12.探究点2 裂项相消法求和第26讲 要点探究 例 2 2010山东卷 已知等差数列a
5、n满足：a37，a5a726，an的前 n 项和为Sn.(1)求 an及 Sn；(2)令 bn1a2n1(nN*)，求数列bn的前n 项和 Tn.第26讲 要点探究 思路(1)根据已知求出数列的基本量，按照公式直接求解；(2)根据(1)，bn14n（n1），把这个通项变换为141n 1n1，然后求和 第26讲 要点探究 解答(1)设等差数列an的公差为 d，因为 a37，a5a726，所以有 a12d7，2a110d26，解得 a13，d2，所以 an32(n1)2n1；Sn3nn（n1）22n22n.第26讲 要点探究(2)由(1)知 an 2n 1，所 以 bn 1a2n1 1（2n1）2
6、1141n（n1）14（1n 1n1），所以 Tn14（11212131n 1n1）14（1 1n1）n4（n1），即数列bn的前 n 项和 Tnn4（n1）.第26讲 要点探究 点评 本题的解题方法通常称为裂项相消法，但其本质是变换通项的方法，即通过对数列通项的恒等变换实现问题可解的目的，裂项的目的在本例中是产生连续可以相互抵消的项在数列求和中变换通项有时候需要较高的技巧，如下面的变式 第26讲 要点探究 已知数列an 的通项公式是 an4n2n，其前 n 项和为 Sn，求数列2nSn 的前 n 项和 Tn.第26讲 要点探究 解答 根据公式法 Sn4n142n1213(4n132n12)1
7、3(2n11)(2n12)23(2n11)(2n1)，故2nSn322nn1n.由于(2n11)(2n1)2n，所以2nSn32n1nn1n 3212n112n11，所以 Tn321211122112211231 12n112n1132112n113 2n12n11.探究点3 倒序相加法求和 第26讲 要点探究 例 3 已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)是 f(x)12log2 x1x的图象上任意两点，若 Sni1n1fin，其中 nN*，且 n2，求 Sn.第26讲 要点探究 思路 向量式说明M是AB的中点，根据中点坐标公式求解b的值，根据经验，这是一个倒序相加求和的问题 解 答 f(
8、x)f(1 x)12log2 x1x 12log21xx1log211，Snfn1nfn2nf1n，2Snf1nfn1nf2nfn2nfn1nf1n11 1n1个n1，Snn12(nN*，且 n2)第26讲 要点探究 点评 这个方法脱胎于课本上推导等差数列前n项和的方法，在高考试题中使用时频率虽然没有下面的“错位相减法”高，但也是值得注意的一个方法数列是以正整数为自变量的函数，从函数入手设计数列试题是自然的本题从函数图象的对称性出发构造了一个函数值的数列，这个数列符合用倒序相加方法求和的要求 探究点4 错位相减法求和第26讲 要点探究 例 4 2010安徽卷 设 C1，C2，Cn，是坐标平面上
9、的一列圆，它们的圆心都在 x 轴的正半轴上，且都与直线 y 33 x 相切，对每一个正整数 n，圆 Cn都与圆 Cn1相互外切，以rn表示 Cn的半径，已知rn为递增数列(1)证明：rn为等比数列；(2)设 r11，求数列nrn 的前 n 项和 第26讲 要点探究 思路(1)求直线倾斜角的正弦，设 Cn的圆心为(n,0)，得 n2rn，同理得 n12rn1，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即rn中 rn1与 rn的关系，证明rn为等比数列；(2)利用(1)的结论求rn的通项公式，代入数列nrn，然后用错位相减法求和 解答(1)设圆心坐标为(n,0)，根据直线与圆的位置
10、关系可得 n2rn，同理得 n12rn1，根据圆 Cn都与圆 Cn1相互外切，得 n1nrn1rn，将 n2rn，n12rn1代入得 rn13rn，即rn1rn 3，所以数列rn为等比数列 第26讲 要点探究(2)由 r11 可得 rn3n1，nrn n3n1.设 Sn130231332 n3n1，则13Sn131232333n13n1 n3n.得23Sn113132 13n1n3n 32（113n）n3n 3232n23n，所以 Sn94 32n43n19（32n）31n4.第26讲 要点探究 点评 错位相减法适用于数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和，乘以等比数列
11、的公比再错位相减，即依据是：cnanbn，其中an 是公差为 d 的等差数列，bn 是公比为 q(q1)的等比数列，则 qcnqanbnanbn1，此时 cn1qcn(an1an)bn1dbn1，这样就把对应相减的项变为了一个等比数列，从而达到求和的目的这种求和方法是高考中出现频率最高的方法.第26讲 要点探究 规律总结 第26讲 规律总结 1数列求和的基本思想是转化，即把数列通过分组、变换通项、变换次序、乘以常数等方法，把数列的求和转化为能使用公式求解或者是能通过基本运算求解的形式，达到求和的目的，要深刻认识变换转化的思想在数列求和中的应用 2在高考试题中数列求和是试题的重要组成部分，高考重点考查的是公式求和法、裂项求和法和错位相减求和法，其中裂项求和法对数式的变换有较高的要求，要掌握一些常见的变换技巧