1、课时作业(四十八)空间向量及其运算一、选择题1若a，b，c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()Aa，ab，ab Bb，ab，abCc，ab，ab Dab，ab，a2b解析：若c、ab、ab共面，则c(ab)m(ab)(m)a(m)b，则a、b、c为共面向量，此与a、b、c为空间向量的一组基底矛盾，故c，ab，ab可构成空间向量的一组基底。 答案：C2在正方体ABCDA1B1C1D1中，给出以下向量表达式：()； ()；()2； ()。其中能够化简为向量的是()A B C D解析：()；()；()22；()，所以选A。 答案：A3若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a与b
2、的夹角的余弦值为，则等于()A2 B2C2或 D2或解析：由已知得，83(6)，解得2或。 答案：C4平行六面体ABCDABCD中，若x2y3z，则xyz()A1 B.C. D.解析：x2y3z，故x1，y，z，xyz1。 答案：B5已知直线AB、CD是异面直线，ACCD，BDCD，且AB2，CD1，则异面直线AB与CD夹角的大小为()A30 B45C60 D75解析：cos，与所成角为60。 答案：C6正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在上且，N为B1B的中点，则|为()A.a B.aC.a D.a解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0
3、，a，a)，N。设M(x，y，z)。点M在上且，(xa，y，z)(x，ay，az)，xa，y，z，得M，|a。 答案：A二、填空题7如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若()，则_。解析：如图所示，取AC的中点G，连接EG、GF，则()。 答案：8已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当最小时，点Q的坐标是_。解析：设(，2)，则(1，2，32)，(2，1，22)。(1)(2)(2)(1)(32)(22)62161062。当时，取得最小值，此时。点Q的坐标是。答案：9在正方体ABCDA1B1C1D1中，下
4、面给出四个命题：()23()2；()0；与的夹角为60；此正方体的体积为|。则正确命题的序号是_(填写所有正确命题的序号)。解析：|，正确；()；(，)(，)，|0.正确；AD1与A1B两异面直线的夹角为60，但与的夹角为120，注意方向，0，正确的应是|。 答案：三、解答题10如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3)。解析：(1)P是C1D1的中点，aacacb。(2)N是BC的中点，abababc。(3)M是AA1的中点，aabc。又ca，abc。11已知a(x,4,1
5、)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，求：(1)a，b，c；(2)(ac)与(bc)所成角的余弦值。解析：(1)因为ab，所以，解得x2，y4，这时a(2,4,1)，b(2，4，1)。又因为bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2)。(2)由(1)得ac(5,2,3)，bc(1，6,1)，设(ac)与(bc)所成角为，因此cos。12如图所示，在空间直角坐标系中，BC2，原点O是BC的中点，点A的坐标是(，0)，点D在平面yOz内，且BDC90，DCB30。(1)求的坐标；(2)设和的夹角为，求cos的值。解析：(1)如图所示，过D作DEBC，垂足为E。在RtBDC中，由BDC90，DCB30，BC2，得BD1，CD。DECDsin30。OEOBBDcos601。D点坐标为，即的坐标为(0，)。(2)依题意，(0，1,0)，(0,1,0)，(0,2,0)。设和的夹角为，则cos。cos。