1、第八节 正、余弦定理的应用举例 基础梳理 实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_叫仰角，目标视线在水平视线_叫俯角(如图)(2)方位角指从_方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a(如图)(3)坡角：坡面与水平面所成的角上方时下方时正北基础达标 1.(教材改编题)在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60，C点的俯角为70，则BAC=()A.10 B.50 C.120 D.130D 解析：如图，由已知BAD=60，CAD=70，BAC=60+70=130.2.若P在Q的北偏东44，则Q在P的()A.东
2、偏北46 B.东偏北44C.南偏西44 D.西偏南44C 解析：如图，依题意知AQP=44，则点Q在P点的南偏西44.3.(教材改编题)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20，现高不变，将倾斜角改为10，则斜坡长为()A.1 B.2sin 10C.2cos 10D.cos 20C 解析：ABC=20，AB=1，ADC=10，ABD=160.在ABD中，由正弦定理=，AD=AB =2cos 10.160ADsin10ABsin16010sinsin2010sinsin4.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得BCD=15，BDC=30，CD=30 m，并在点
3、C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB=_m.15 6解析：由已知可得DBC=135，在DBC中，由正弦定理可得=，BC=15 ，AB=BCtan 60=15 =15 .30BCsin135CDsin30135CDsinsin3030135sinsin2236经典例题【例1】一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30方向若货轮的速度为30 nmile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时，求A、D两处的距离题型一距离问题解：如图所示，在ABC中，CAB=45，ABC=90+30=120，ACB=180-45-120=15，A
4、B=300.5=15(n mile)则由正弦定理，得=，即=.又sin 15=，sin 120=，AC=15(n mile)在ACD中，A=D=45，ACD是等腰直角三角形，AD=AC=15(3+)(n mile)，A、D两处的距离为15(3+)n mile.ACsinABCABsinACB120ACsin1515sin624321512015sinsin3 262233)n mile.题型二 高度问题【例2】某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30，求塔高解：如图所示，在BDC中，CD=40 m，BCD=90-60=30，DBC=180
5、-45=135.由正弦定理，得=，BD=20 (m)在RtABE中，tanAEB=，AB为定值，若要使仰角AEB最大，则BE要最小，即BECD，这时AEB=30.在RtBED中，BDE=180-135-30=15，BE=BDsinBDE=20 sin 15=10(-1)(m)在RtABE中，AB=BEtanAEB=10(-1)tan 30=(3-)(m)，塔的高度为(3-)m.CDsinDBCBDsinBCDCDsinBCDsinDBC4030135sinsin2ABBE23310331033题型三 角度问题【例3】近几年来，印度洋海域索马里海盗活动猖獗，并频频袭击过往货轮，2011年某月某日
6、，巡逻人员在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A处(-1)海里的B处一货轮遭到抢劫，立即发出阻截信号，此时，在A处北偏西75方向，距离A处2海里的C处的中国编队接到信号后，立即以10 海里/小时的速度追截海盗船，而海盗船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问中国编队沿什么方向行驶能最快追上海盗船？33CBA=45，即B在C的正东方向 CBD=90+30=120，在BCD中，由正弦定理得 sinBCD=BAC=120，由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC-1)2cos 120=6，t，BD=10t，在ABC中，AB=-1，AC=2，333362222BCA
7、BACBC AB631 242 631 22BD sinCBDCD1012010 3tsint12解 如图，设中国编队用t h在D处追上海盗船，则有CD=10=(-1)2+22-2(cosCBA=BCD=30，则ECD=60.故中国编队应沿北偏东60方向才能最快追上海盗船 BC=33变式3-1 甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处，两船相距10海里，乙船向正北行驶，若甲船速度是乙船的 倍，问：甲船应向什么方向行驶才能追上乙船？解析：如图，设乙船行驶了x海里，则甲船行驶了 x海里，两船在C处相遇 33在ABC中，ABC=120，AB=10，BC=x，AC=x.由余弦定理可知(即x2-5x-50=0，x=10或x=-5(舍去)，ABC是顶角为120的等腰三角形，所以BAC=30.故甲船应向北偏东30方向前进才能追上乙船 x)2=100+x2-20 xcos 120，