1、2015-2016学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1（5分）（2014重庆）在复平面内复数Z=i（12i）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）（2015秋太原期末）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）Ay=x2+1By=2x1Cy=sinxDy=cosx3（5分）（2015秋太原期末）若m，n是两条不同的直线，m平面，则“mn”是“n”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（5分）（2016陕西校级一模）已
2、知D为ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一个点P，满足=+，则的值为（）A B C1D25（5分）（2014济南一模）执行如图的程序框图输出的T的值为（）A4B6C8D106（5分）（2016萍乡二模）已知sin=，且（，），则tan2=（）A B C D7（5分）（2015秋太原期末）从集合1，2，3，4，5，6中随机抽取一个数a，从集合1，2，3中随机收取一个数b，则loga2b=1的概率为（）A B C D8（5分）（2015秋太原期末）设变量x，y满足|xa|+|ya|1，若2xy的最大值为5，则实数a的值为（）A0B1C2D39（5分）（2015秋太原期末）某几何体的三视图如图
3、所示，则该几何体的体积为（）A16B8+C16+D810（5分）（2015秋太原期末）已知函数f（x）=x2ax+b（a0，b0）有两个不同的零点m，n，且m，n和2三个数适当排序后，即可成为等差数列，也可成为等比数列，则a+b的值为（）A7B8C9D1011（5分）（2015秋太原期末）已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）的图象如图所示，若f（）=3，（，），则sin的值为（）A B C D12（5分）（2015秋太原期末）已知函数f（x）在R上的导函数为f（x），若f（x）f（x）恒成立，且f（0）=2，则不等式f（x）2ex的解集是（）A（2，+）B（0，+）C（，0）D（
4、，2）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13（5分）（2016大兴区一模）已知函数f（x）=4x+（x0，a0）在x=2时取得最小值，则实数a=14（5分）（2015秋太原期末）若向量=（cos15，sin15），=（cos75，sin75），则+与的夹角为15（5分）（2015秋太原期末）若ab1，且a+b+c=0，则的取值范围是16（5分）（2015秋太原期末）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）当3x1时，当f（x）=（x+2）2，当1x3时f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+f（2015）=三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
5、17（12分）（2015秋太原期末）某地一家课外培训机构随机选取当地1000名学生的数据，研究他们报名参加数学、英语、物理、化学培训的情况，整理成如下统计表：课程人数数学英语物理化学1002172003008598表中“”表示参加，“”表示未参加（1）估计当地某一学生同时参加英语和物理培训的概率；（2）估计当地某一学生在以上四门课程同时参加三门培训的概率；（3）如果一个学生参加了数学培训，则该生同时参加英语、物理、化学培训中哪一种的可能性最大？说明理由18（12分）（2015秋太原期末）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，且ccosA=5，asinC=4（1）求边长c；（2）若AB
6、C的面积S=16求ABC的周长19（12分）（2015秋太原期末）已知等差数列an的前3项和为6，前8项的和为24（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=（an+6）qn（q0），求数列bn的前n项和Sn20（12分）（2015秋太原期末）已知平行四边形ABCD中，A=45，且AB=BD=1，将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图所示：（1）求证：ABCD；（2）求棱锥ABCD的表面积21（12分）（2015秋太原期末）函数f（x）=axn（1x）（x0，nN*），当n=2时，f（x）的极大值为（1）求a的值；（2）若方程f（x）m=0有两个正实根，求m的取值范围请在22、23、
7、24三体中任选一题作答，注意：只能做选做给定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分选修4-1：几何证明选讲22（10分）（2015秋太原期末）如图，四边形ABCD内接于O，BA，CD的延长线相交于点E，EFDA，并与CB的延长线交于点F，FG切O于G（1）求证：BEEF=CEBF；（2）求证：FE=FG选修4-4：坐标系与参数方程23（2015秋太原期末）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），当t=1时，对应曲线C1上一点A且点A关于原点的对称点为B，以原点O为极点，以x轴为正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为=（1）求A，B两点的极坐标；（2）设P为曲线C2上动点，求|PA|2
8、+|PB|2的最大值选修4-5：不等式选讲24（2016新余校级一模）设函数f（x）=|x2|2|x+1|（1）求f（x）的最大值；（2）若f（x）mx+3+m恒成立，求m的取值范围2015-2016学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1（5分）（2014重庆）在复平面内复数Z=i（12i）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，bR）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案【解答
9、】解：复数Z=i（12i）=2+i复数Z的实部20，虚部10复数Z在复平面内对应的点位于第一象限故选A【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z化为a=bi（a，bR）的形式，是解答本题的关键2（5分）（2015秋太原期末）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）Ay=x2+1By=2x1Cy=sinxDy=cosx【分析】根据函数奇偶性和函数零点的定义进行判断即可【解答】解：Ay=x2+11，函数y=x2+1没有零点，不满足条件By=2x1为增函数，不是偶函数，不满足条件Cy=sinx是奇函数，不满足条件Dy=cosx是偶函数，且函数存在零点，
10、满足条件故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数零点的应用，比较基础3（5分）（2015秋太原期末）若m，n是两条不同的直线，m平面，则“mn”是“n”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】“mn”推不出“n”，“n”“mn”【解答】解：m，n是两条不同的直线，m平面，“mn”推不出“n”，“n”“mn”，“mn”是“n”的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查命真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用4（5分）（2016陕西校级一模）已知D为ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一个点
11、P，满足=+，则的值为（）A B C1D2【分析】如图所示，由于=+，可得：PA是平行四边形PBAC的对角线，PA与BC的交点即为BC的中点D即可得出【解答】解：如图所示，=+，PA是平行四边形PBAC的对角线，PA与BC的交点即为BC的中点D =1故选：C【点评】本题查克拉向量的平行四边形法则、平行四边形的性质，考查了推理能力，属于基础题5（5分）（2014济南一模）执行如图的程序框图输出的T的值为（）A4B6C8D10【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件S15，计算输出T的值【解答】解：由程序框图知：第一次运行S=0+0+1=1，T=0+2=2；第二次运行S=1+22
12、+1=6，T=2+2=4；第三次运行S=6+24+1=1515，T=4+2=6；满足条件S15，程序终止运行，输出T=6，故选：B【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法6（5分）（2016萍乡二模）已知sin=，且（，），则tan2=（）A B C D【分析】由条件利用查同角三角函数的基本关系求得tan的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2的值【解答】解：sin=，且（，），cos=，tan=，则tan2=，故选：A【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题7（5分）（2015秋太原期末）从集合1
13、，2，3，4，5，6中随机抽取一个数a，从集合1，2，3中随机收取一个数b，则loga2b=1的概率为（）A B C D【分析】所有的数对（a，b）共有63=18个，而满足loga2b=1的数对用列举法求得有3个，由此求得所求事件的概率【解答】解：从集合1，2，3，4，5，6中随机抽取一个数a，从集合1，2，3中随机收取一个数b，共有63=18种，loga2b=1，a=2b，则有（2，1），（4，2），（6，3），共3种，故loga2b=1的概率为=，故选：B【点评】本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础
14、题8（5分）（2015秋太原期末）设变量x，y满足|xa|+|ya|1，若2xy的最大值为5，则实数a的值为（）A0B1C2D3【分析】满足条件的点（x，y）构成趋于为平行四边形及其内部区域，令z=2xy，显然当直线y=2xz过点C（1+a，a）时，z取得最大值为5，即2（1+a）a=5，由此求得a的值【解答】解：设点M（a，a）则满足|xa|+|ya|1的点（x，y）构成区域为平行四边形及其内部区域，如图所示：令z=2xy，则z表示直线y=2xz在y轴上的截距的相反数，故当直线y=2xz过点C（1+a，a）时，z取得最大值为5，即2（1+a）a=5，解得a=3故选：D【点评】本题主要考查绝对
15、值三角不等式、简单的线性规划问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题9（5分）（2015秋太原期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A16B8+C16+D8【分析】由三视图可知几何体为正方体切去两个圆柱的，故可使用作差法求体积【解答】解：由三视图可知几何体为正方体切去两个圆柱的，正方体的棱长为2，圆柱的高为2，底面半径为1所以几何体的体积V=23=8故选D【点评】本题考查了空间几何体的三视图和结构特征，属于基础题10（5分）（2015秋太原期末）已知函数f（x）=x2ax+b（a0，b0）有两个不同的零点m，n，且m，n和2三个数适当排序后，即可成为等差数列，也可成为等
16、比数列，则a+b的值为（）A7B8C9D10【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到m+n=a，mn=b，再由m，n，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于m，n的方程组，求得m，n后得答案【解答】解：由题意可得：m+n=a，mn=b，a0，b0，可得m0，n0，又m，n，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得或解得：m=4，n=1；解得：m=1，n=4a=5，b=4，则a+b=9故选：C【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题11（5分）（2015秋太原期末）已知函数f（x）=Asin（x+）（
17、A0，0，0）的图象如图所示，若f（）=3，（，），则sin的值为（）A B C D【分析】根据函数的最值得到A，再由图象可得函数的周期，结合周期公式得到的值，再根据函数的最大值对应的x值，代入并解之得，从而得到函数的表达式，最后求得cos（+）的值，利用两角差的正弦函数公式即可得解【解答】解：函数f（x）的最大值为5，最小值为5，A=5，又函数的周期T=2（）=2，=1，函数图象经过点（，5），即：5sin（+）=5，解得： +=+2k，kZ，可得：=+2k，kZ，0，取k=0，得=函数的表达式为：f（x）=5sin（x+），f（）=5sin（+）=3，解得：sin（+）=，又（，），可得：
18、+（，），cos（+）=，sin=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin=（）=故选：A【点评】本题给出函数y=Asin（x+）的部分图象，要我们确定其解析式并根据解析式求特殊的函数值，着重考查了函数y=Asin（x+）的图象与性质的知识，属于中档题12（5分）（2015秋太原期末）已知函数f（x）在R上的导函数为f（x），若f（x）f（x）恒成立，且f（0）=2，则不等式f（x）2ex的解集是（）A（2，+）B（0，+）C（，0）D（，2）【分析】造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（0）=2，求得g（0）=2，继而求出答案【解答】解：xR，都有f（x）f（
19、x）成立，f（x）f（x）0，于是有（）0，令g（x）=，则有g（x）在R上单调递增，f（0）=2，g（0）=2，不等式f（x）2ex，g（x）2=g（0），x0，故选：B【点评】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13（5分）（2016大兴区一模）已知函数f（x）=4x+（x0，a0）在x=2时取得最小值，则实数a=16【分析】由基本不等式等号成立的条件和题意可得a的方程，解方程可得【解答】解：x0，a0，f（x）=4x+2=4，当且仅当4x=即x
20、=时取等号，又f（x）在x=2时取得最小值，=2，解得a=16，故答案为：16【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题14（5分）（2015秋太原期末）若向量=（cos15，sin15），=（cos75，sin75），则+与的夹角为30【分析】利用单位圆作出图形，根据菱形的性质即可得出答案【解答】解： =（cos15，sin15），=（cos75，sin75），=1，=60，以为邻边的平行四边形为菱形，平分+与的夹角为30故答案为：30【点评】本题考查了平面向量加法的几何意义，数形结合的思想方法，属于基础题15（5分）（2015秋太原期末）若ab1，且a+b+c=0，则的取值范围是（2，1）
21、【分析】根据ab1，求出的范围，根据a+b+c=0，得到=1，从而求出其范围即可【解答】解：ab1，01，10，211，由a+b+c=0，得：c=ab，=1，21，故答案为：（2，1）【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查转化思想，求出的范围是解题的关键，本题是一道基础题16（5分）（2015秋太原期末）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）当3x1时，当f（x）=（x+2）2，当1x3时f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+f（2015）=336【分析】由f（x+6）=f（x）知函数的周期为6，求出f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）的值【解答】
22、解：f（x+6）=f（x），T=6，当3x1时，当f（x）=（x+2）2，当1x3时f（x）=x，f（1）=1，f（2）=2f（3）=f（3）=1，f（4）=f（2）=0，f（5）=f（1）=1，f（6）=f（0）=0，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1；f（1）+f（2）+f（3）+f（2015）=3351+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=336故答案为：336【点评】本题考查函数的周期性，根据周期性求代数式的值，属于一道基础题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）（2015秋太原期末）某地一家课外培训机构随机选取当地
23、1000名学生的数据，研究他们报名参加数学、英语、物理、化学培训的情况，整理成如下统计表：课程人数数学英语物理化学1002172003008598表中“”表示参加，“”表示未参加（1）估计当地某一学生同时参加英语和物理培训的概率；（2）估计当地某一学生在以上四门课程同时参加三门培训的概率；（3）如果一个学生参加了数学培训，则该生同时参加英语、物理、化学培训中哪一种的可能性最大？说明理由【分析】（1）由统计表得1000名学生中，同时参加英语和物理培训的学生有200人，由此能估计当地某一学生同时参加英语和物理培训的概率（2）由统计表得1000名学生中，在以上四门课程同时参加三门培训的学生有300人
24、，由此能估计当地某一学生在以上四门课程同时参加三门培训的概率（3）该生同时参加英语、物理、化学培训中参加物理培训的可能性最大【解答】解：（1）由统计表得1000名学生中，同时参加英语和物理培训的学生有200人，估计当地某一学生同时参加英语和物理培训的概率p1=0.2（2）由统计表得1000名学生中，在以上四门课程同时参加三门培训的学生有：100+200=300人，估计当地某一学生在以上四门课程同时参加三门培训的概率p2=0.3（3）该生同时参加英语、物理、化学培训中参加物理培训的可能性最大理由如下：参加数学培训的学生有100+200+300+85=685人，学生参加了数学培训，该生同时参加英语
25、培训的学生有200人，学生参加了数学培训，该生同时参加物理培训的学生有100+200=300人，学生参加了数学培训，该生同时参加化学培训的学生有100人，该生同时参加英语、物理、化学培训中参加物理培训的可能性最大【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用18（12分）（2015秋太原期末）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，且ccosA=5，asinC=4（1）求边长c；（2）若ABC的面积S=16求ABC的周长【分析】（1）由正弦定理可得asinC=csinA，可得sinA=，由ccosA=5，可得：cosA=，由sin2A+co
26、s2A=+=1，即可解得c的值（2）利用三角形面积公式可得S=absinC=16，asinC=4解得b，利用余弦定理即可解得a的值，从而可求ABC的周长【解答】（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理可得：，可得：asinC=csinA，asinC=4，可得：csinA=4，即得：sinA=，由ccosA=5，可得：cosA=，可得：sin2A+cos2A=+=1，解得：c=（2）ABC的面积S=absinC=16，asinC=4解得：b=8，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA=64+4128=25，解得a=5，或5（舍去），ABC的周长=a+b+c=5+8+=13+【点评】本题主
27、要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19（12分）（2015秋太原期末）已知等差数列an的前3项和为6，前8项的和为24（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=（an+6）qn（q0），求数列bn的前n项和Sn【分析】（1）利用等差数列的前n项和公式、通项公式即可得出；（2）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，其前n项和为SnS3=6，S8=24，解得，an=4+2（n1）=2n6（2）bn=（an+6）qn=2nqn，数列bn的前n项和
28、Sn=2（q+2q2+3q3+nqn），当q=1时，Sn=2（1+2+3+n）=n2+n当q1，0时，qSn=2（q2+2q3+3q4+nqn+1），Sn=2（q+q2+q3+qnnqn+1）=2，Sn=+2nqn+1【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（12分）（2015秋太原期末）已知平行四边形ABCD中，A=45，且AB=BD=1，将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图所示：（1）求证：ABCD；（2）求棱锥ABCD的表面积【分析】（1）由已知条件求出ADB=45，从而得到ABBD，利用平面A
29、BD平面BCD，由此能够证明ABDC（）利用侧面积加底面积可得棱锥ABCD的表面积【解答】（1）证明：在ABD中，AB=1，BD=1，且A=45ADB=45，ABBD，平面ABD平面BCD，面ABD面BDC=BD，AB面BDC，ABDC；（2）解：由（1）可知，ABBC，ADCD，棱锥ABCD的表面积=2+=+1【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查棱锥ABCD的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21（12分）（2015秋太原期末）函数f（x）=axn（1x）（x0，nN*），当n=2时，f（x）的极大值为（1）求a的值；（2）若方程f（x）m=0有两个正实根，求m的取值范围【分
30、析】（1）求出函数的对数，根据n=2时，f（x）的极大值为，得到f（）=a=，解出即可；（2）求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出f（x）的值域，从而求出m的范围【解答】解：（1）n=2时，f（x）=ax2（1x），f（x）=ax（23x），令f（x）=0得：x=0或x=，n=2时，f（x）的极大值为，故a0，且f（）=a=，解得：a=1；（2）f（x）=xn（1x），f（x）=nxn1（n+1）xn=（n+1）xn1（x），显然，f（x）在x=处取得最大值，f（）=，f（x）的值域是（0，），若方程f（x）m=0有两个正实根，只需0m即可【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题
31、，考查导数的应用，是一道中档题请在22、23、24三体中任选一题作答，注意：只能做选做给定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分选修4-1：几何证明选讲22（10分）（2015秋太原期末）如图，四边形ABCD内接于O，BA，CD的延长线相交于点E，EFDA，并与CB的延长线交于点F，FG切O于G（1）求证：BEEF=CEBF；（2）求证：FE=FG【分析】（1）圆的内接四边形的性质，平行线的性质，判断CFEEFB，线段对应成比例，从而证得式子成立（2）根据 CFEEFB，可得BEEF=CFBF，在根据圆的切线性质可得 FC2=FBFC，从而证得结论成立【解答】证明：（1）EFDA，DAE=
32、AEF，四边形ABCD内接于O，DAE=C，C=AEF，又CFE=EFB，CFEEFB， =，BEEF=CFBF（2）CFEEFB， =，EFEF=FBFC，FG切O于G，FC2=FBFC，EFEF=FG2，FG=FE【点评】本题主要考查与圆有关的比例线段，圆的内接四边形的性质，三角形相似的判定与性质，属于中档题选修4-4：坐标系与参数方程23（2015秋太原期末）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），当t=1时，对应曲线C1上一点A且点A关于原点的对称点为B，以原点O为极点，以x轴为正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为=（1）求A，B两点的极坐标；（2）设P为曲线C2上动点，求|P
33、A|2+|PB|2的最大值【分析】（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），当t=1时，对应曲线C1上一点A（3，），点A关于原点的对称点为B，利用即可得出极坐标（2）曲线C2的极坐标方程为=，利用化为直角坐标方程=1设P，0，2），则|PA|2+|PB|2=4sin2+32，即可得出【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），当t=1时，对应曲线C1上一点A（3，），点A关于原点的对称点为B，利用即可得出极坐标：A，B（2）曲线C2的极坐标方程为=，化为3x2+2y2=12，即=1设P，0，2），则|PA|2+|PB|2=+（2cos+3）2+=4sin2+3236，|PA|2+|PB
34、|2的最大值是36【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与椭圆相交弦长问题、三角函数的求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题选修4-5：不等式选讲24（2016新余校级一模）设函数f（x）=|x2|2|x+1|（1）求f（x）的最大值；（2）若f（x）mx+3+m恒成立，求m的取值范围【分析】（1）通过讨论x的范围，将f（x）写成分段函数的形式，画出函数的图象，从而求出f（x）的最大值即可；（2）问题转化为，解出即可【解答】解：（1）f（x）=|x2|2|x+1|=，如图示：，f（x）的最大值是3；（2）若f（x）mx+3+m恒成立，则，解得：3m1【点评】本题考查了绝对值不等式，考查函数恒成立问题，是一道中档题