1、江苏省徐州市2020届高三数学下学期春季联考试题（含解析）注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分.本卷满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3. 作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效.如需作图，须用2B铅笔绘图、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案
2、填写在答题卡相应位置上.1.设全集，集合，则_【答案】【解析】【分析】直接根据交集和补集的定义求解，先求，再求【详解】解：全集，集合，又，故答案为：【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，属于基础题2.复数的虚部是_【答案】【解析】因为，所以该复数的虚部是，应填答案3.某校为了解同三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图），则这100名同学中学习时间在6到8小时内的人数为 人【答案】30【解析】【分析】本题主要考查的是频率分布直方图由条件可知2(0.04+0.12+x+0.14+0.05)=1,所以x=0.15.所以这100名同学中学习时
3、间在6到8小时内的频率为0.15（10-8）100=30【详解】请在此输入详解！4.如图是一个算法的流程图，若输入的的值为1，则输出的的值为_.【答案】73【解析】【分析】根据循环结构逐步计算即可.【详解】输入,.1. ,判断为“”, .2. ,判断为“”, .3. ,判断为“”.输出.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据输入数据计算循环框图的输出结果.属于基础题.5.某校有，两个学生食堂，若，三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为_.【答案】【解析】【分析】求出所有可能的情况总数,进而求得在同一食堂用餐的概率,再利用对立事件的概率公式求解三人不在同一个食堂用
4、餐的概率即可.【详解】由题意可知,所有可能的情况共有种,其中在同一食堂用餐的情况有2种.故三人不在同一个食堂用餐的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查了古典概型的问题,需要根据题意求出所有可能的情况,再求出对立事件的概率进行计算.属于基础题.6.已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长为5，则该正四棱锥的体积为_.【答案】32【解析】【分析】连接底面对角线交于,再根据四棱锥的性质求出高即可求得体积.【详解】设正四棱锥为,连接交于,连接.易得平面.根据正四棱锥的性质有,.故该正四棱锥的体积为.故答案为：【点睛】本题主要考查了正四棱锥体积的计算,需要根据其中的直角三角形进行高的计算.属于基础题.7.若将
5、函数的图象沿轴向右平移个单位后所得的图象关于轴对称，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】先根据求解平移后的函数解析式,再根据三角函数对称轴的性质求解即可.【详解】将函数的图象沿轴向右平移个单位后可得.由题关于轴对称,故当时，有,即.因为，故当时有的最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数图像平移以及三角函数图像性质的问题,需要根据题意代入对称轴表达式进行求解.属于基础题.8.已知为等差数列，其公差为2，且是与的等比中项，为前项和，则的值为_.【答案】-110【解析】【分析】利用基本量法以及等比中项的性质可求得首项,再求解即可.【详解】因为是与的等比中项,故,即,即,化简得.又所以
6、.故.故答案为：【点睛】本题主要考查了等差数列中基本量的求解以及等比中项的运用,同时也考查了等差数列求和的公式.属于中档题.9.若双曲线的一条渐近线与圆：相交于，两点且，则此双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】根据圆的半径相等以及可求得圆心到渐近线的距离为,再利用点到线的距离公式列式求解的关系,再求解离心率即可.【详解】因为,故圆心到渐近线的距离为.不妨设渐近线方程为,即.故,即.所以.故,故双曲线的离心率为.故答案为：【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系以及建立齐次式求解双曲线离心率的问题.属于基础题.10.函数的定义域为_【答案】；【解析】 ，即定义域为11.已知，且，若，则的
7、最小值为_.【答案】25【解析】【分析】由题意,再根据换元令,代入展开利用基本不等式求最小值即可.【详解】由题, ,设则.当且仅当时取等号.故答案为：【点睛】本题主要考查了换元法利用基本不等式求解最小值的问题.需要根据题中所给的形式换元,结合基本不等式求最小值.属于中档题.12.在中，若，则_.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理可求得,建立平面直角坐标系,根据求出的坐标,进而求得即可.【详解】由余弦定理可得,即,因为,故解得.过作垂直的延长线于,再以为坐标原点,为轴, 为轴建立平面直角坐标系.则,.设,因为,故,故,解得,即.故故答案为：【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积
8、的问题.需要根据题意建立合适的坐标系,再根据题中所给的数据进行向量坐标的运算.属于中档题.13.已知圆，直线与圆交于两点，若，则弦的长度的最大值为_.【答案】【解析】【分析】取的中点为M，由可得，可得M在上，当最小时，弦的长才最大.【详解】设为中点，即，即，.设，则，得.所以，.故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难度的题.14.函数满足，当时，若函数在上有1515个零点，则实数的范围为_.【答案】【解析】【分析】由已知，在上有3个根，分，四种情况讨论的单调性、最值即可得到答案.【详解】由已知，的周期为4，且至多在上有4个根，
9、而含505个周期，所以在上有3个根，设，易知在上单调递减，在，上单调递增，又，.若时，在上无根，在必有3个根，则，即，此时；若时，在上有1个根，注意到，此时在不可能有2个根，故不满足；若时，要使在有2个根，只需，解得；若时，在上单调递增，最多只有1个零点，不满足题意；综上，实数的范围为.故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点，是一道中档题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，函数.（1）求函数的最小正周期.（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【
10、解析】【分析】(1)根据平面向量的数量积公式以及降幂公式与辅助角公式化简可得,进而求得最小正周期.(2)代入可得,再根据,利用三角函数和差角公式以及同角三角函数关系求解即可.【详解】（1）,的最小正周期为.（2）,.【点睛】本题主要考查了同角三角函数公式以及三角函数恒等变换.同时也考查了根据三角函数值求三角函数值的问题.属于中档题.16.如图，在直三棱柱中，是棱上的一点.（1）求证：；（2）若，分别是，的中点，求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)根据直三棱柱的性质证明平面即可.(2) 取的中点为,连接,再证四边形为平行四边形即可.【详解】（1）在直三棱
11、柱中,平面,平面,又,平面,平面,平面,又平面,.（2）取的中点为,连接,在中,、分别为、中点,且,在直三棱柱中,且,为的中点,且,且,四边形为平行四边形,又平面,平面,平面.【点睛】本题主要考查了线面垂直以及线面平行证明.属于基础题.17.如图，某居民区内有一直角梯形区域，百米，百米.该区域内原有道路，现新修一条直道（宽度忽略不计），点在道路上（异于，两点），.（1）用表示直道的长度；（2）计划在区域内修建健身广场，在区域内种植花草.已知修建健身广场的成本为每平方百米4万元，种植花草的成本为每平方百米2万元，新建道路的成本为每百米4万元，求以上三项费用总和的最小值（单位：万元）.【答案】（1
12、），.（2）万元.【解析】【分析】(1) 过点作垂直于线段,垂足为得到,再在中,由正弦定理求得即可.(2) 在中,由正弦定理求得,进而根据求出,再根据题意表达出总费用,再求导分析的单调性与最值即可.【详解】（1）过点作垂直于线段,垂足为.在直角中,因为,所以.在直角中,因为,所以,则,故,又,所以.在中,由正弦定理得,所以,.（2）在中,由正弦定理得,所以.所以.又.所以.设三项费用总和为,则,所以,令,则.列表：-0+单调递减单调递增所以时,.答：以上三项费用总和的最小值为万元.【点睛】本题主要考查了解三角形在实际中的运用,同时也考查了利用导数求解实际运用中的最值问题,需要根据题意确定函数与
13、自变量的角度间的关系,再求导分析单调性以及最值等.属于难题.18.在平面直角坐标系中，已知椭圆：过点，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，设直线与圆相切与点，与椭圆相切于点，当为何值时，线段长度最大？并求出最大值.【答案】（1）；（2）时，最大值为1.【解析】【分析】(1)利用基本量的关系列式求解即可.(2) 设直线的方程为,根据直线与圆相切可得,再联立直线与椭圆的方程,利用相切则所得的二次方程判别式为0可得,再联立可得.再根据点的坐标结合距离公式以及,在根据基本不等式求解最大值即可.【详解】解：（1）由题,故,解得.故椭圆方程为.（2）连接OA,OB，如图所示：设直线的方程为
14、,因为直线与圆：相切于,所以,即,因为与椭圆：相切于点,由得,即有两个相等的实数解,则,即,由、可得,设,由求根公式得,在直角三角形中,因为,当且仅当时取等号,所以,即当时,取得最大值,最大值为1.【点睛】本题主要考查了椭圆中基本量的求解,同时也考查了直线与圆和椭圆等相切时的方法.当直线与圆相切时利用圆心到直线的距离等于半径列式,当直线与椭圆相切时联立方程根据判别式为0列式.属于难题.19.已知函数和函数.（1）若曲线在处的切线过点，求实数的值；（2）求函数的单调区间；（3）若不等式对于任意的恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）；（2）当时,单调递增区间为;当时,单调增区间为，单调递减区间为
15、；（3）2.【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义求解即可.(2)易得,再求导分析导函数分子的根的存在情况,进而可得导函数在区间上的正负以及原函数的单调性.(3)令,再求导分析可得在上单调递增,可得.再分与两种情况分析函数的单调性求解最小值即可.【详解】解（1）,又,曲线在处的切线方程为,切线过点,.（2）的定义域为,则,令.（）当即时,函数的单调增区间为：.（）当即或时,有两个不等的实数根,当时,函数单调增区间为,当时,令,则或,令,则,单调递增区间为,单调递减区间为.综上所述, 当时,单调递增区间为;当时,单调增区间为，单调递减区间为；（3）令,则,记,则,所以在上单调递增,故,当,故在
16、上单调递增,所以,符合题意.当时,故,又在上单调递增,所以存在唯一的实数,使得,列表如下：-0+极小值则当时,这与恒成立矛盾.综上,实数的最大值为2.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用导数分析含参函数的单调性问题.同时也考查了利用导数解决恒成立的问题.需要根据题意分析导数的零点存在性以及大小关系,进而确定函数的单调性以及最值.属于难题.20.已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前项和分别为，且，.（1）求数列，的通项公式；（2）求；（3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，1.【解析】
17、【分析】（1）利用基本量法直接计算即可；（2）利用错位相减法计算；（3），令可得，讨论即可.【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，因为，所以，即，解得，或（舍去）.所以.（2），所以，所以.（3）由（1）可得，所以.因为是数列或中的一项，所以，所以，因为，所以，又，则或.当时，有，即，令.则.当时，；当时，即.由，知无整数解.当时,有，即存在使得是数列中的第2项，故存在正整数，使得是数列中的项.【点睛】本题考查数列的综合应用，涉及到等差、等比数列的通项，错位相减法求数列的前n项和，数列中的存在性问题，是一道较为综合的题.2020届高三春季联考数学（附加题）注意事项：考生在答题前请认真阅读
18、本注意事项及各题答题要求：1. 本试卷共2页，均为非选择题（第21题第23题）.本卷满分为40分.考试时间为30分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3. 作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.21.【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.【选修4-2：矩阵与变换
19、】21.已知二阶矩阵的特征值是所对应的一个特征向量.（1）求矩阵；（2）设曲线在变换矩阵作用下得到的曲线的方程为，求曲线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根据特征值与特征向量的性质计算即可.(2) 曲线上一点在矩阵的作用下的到点,进而求得,再代入化简即可.【详解】解：（1）由得,即,.（2）设曲线上一点在矩阵的作用下的到点,则点在曲线上.,即,又,整理得曲线的方程为.【点睛】本题主要考查了特征值与特征向量的运用,同时也考查了矩阵变换的运用,属于基础题.B.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合.若直线的极坐标方程为
20、.（1）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知为椭圆：上一点，求到直线的距离的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根据三角函数公式以及极坐标与直角坐标的互化求解即可.(2) 设,再求出点到线的距离表达式,利用三角函数性质求解最值即可.【详解】解：（1）直线的极坐标方程,则,即,所以直线的直角坐标方程为；（2）为椭圆：上一点,设,其中,则到直线的距离,当时,的最小值为.【点睛】本题主要考查了直角坐标和极坐标的互化,同时也考查了利用参数方程求解点到线的距离最值问题.属于中档题.C.【选修4-5：不等式选讲】23.已知实数满足，求的最小值.【答案】【解析】【分析】由柯西不等式
21、知：（x+y+z）2（x）2+（y）2+z2（）2+（）2+12故2x2+3y2+z2，由此能求出2x2+3y2+z2的最小值【详解】由柯西不等式可知：（x+y+z）2（x）2+（y）2+z2（）2+（）2+12， 故2x2+3y2+z2，当且仅当，即：x，y，z时，2x2+3y2+z2取得最小值为【点睛】本题考查柯西不等式的应用，考查了等号成立的条件，属于基础题【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.已知，是抛物线：上不同两点.（1）若抛物线的焦点为，为的中点，且，求抛物线的方程；（2）若直线与轴交于点，与
22、轴的正半轴交点，且，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，：【解析】【分析】(1)根据抛物线的定义求解即可.(2) 设：,联立直线与抛物线的方程,再转换可得,进而利用点坐标与韦达定理代入化简求解即可.【详解】解：（1）由抛物线的定义得,所求抛物线方程为.（2）由题意得的斜率存在设：,作轴,轴,垂足为,.,存在直线：符合题意.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义运用,同时也考查了联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理表达弦长进行化简求解的问题.属于中档题.25.已知数集，其中，且，若对，与两数中至少有一个属于，则称数集具有性质.（1）分别判断数
23、集与数集是否具有性质，说明理由；（2）已知数集具有性质，判断数列，是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由.【答案】（1）数集不具有性质，数集具有性质，理由见解析；（2）是等差数列，证明见解析【解析】【分析】(1)根据性质的定义逐个求差判断即可.(2)根据性质的定义可先判断出,再判断可得,继而得到即可证明数列,为等差数列.【详解】解：（1）由于和都不属于集合,所以该集合不具有性质；由于、都属于集合,所以该数集具有性质.（2）具有性质,所以与中至少有一个属于,由,有,故,故.,故.由具有性质知,又,即,由知,均不属于,由具有性质,均属于,而,即,由可知,即.故,构成等差数列.【点睛】本题主要考查了数列与集合的新定义问题,需要根据所给的性质,先分析到最小的元素,再推导出元素之间的关系,进而得到元素间的递推公式分析.属于难题.- 26 -