1、课时作业(十三)变化率与导数、导数的计算一、选择题1(2016哈尔滨模拟)已知f(x)x(2 013lnx)，f(x0)2 014，则x0等于()Ae2 B1Cln2 De解析：因为f(x)2 013xxlnx，所以f(x)2 013lnx12 014lnx，又因为f(x0)2 014，所以2 014lnx02 014，解得x01。答案：B2(2016山西大学附中月考)曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x3 By2x3Cy2x1 Dy2x1解析：y，ky|x12，设切线方程为y(1)2(x1)，即y2x1，故选C。答案：C3(2016重庆模拟)已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，
2、则a的值为()A1 B2C1 D2解析：设切点坐标为(x0，y0)，由y知y|1，即x0a1。解方程组得故选B。答案：B4(2016泸州诊断)设函数f(x)ax33x，其图象在点(1，f(1)处的切线l与直线x6y70垂直，则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为()A1 B3C9 D12解析：f(x)3ax23，由题设得f(1)6，3a36，a3，所以f(x)3x33x，f(1)0，切线l的方程为y06(x1)，即y6x6，所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为：S163，故选B。答案：B5(2016海口市调研)若点P是曲线yx2lnx上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为()A1 B.C.
3、 D.解析：设P(x0，y0)到直线yx2的距离最小，则y|2x01。得x01或x0(舍)，P点坐标(1,1)。P到直线yx2的距离为d。答案：B6(2016成都七中模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a()A1或 B1或C或 D或7解析：由yx3求导得y3x2设曲线yx3上的任意一点(x0，x)处的切线方程为yx3x(xx0)，将点(1,0)代入方程得x00或x0。(1)当x00时：切线为y0，所以ax2x90仅有一解，得a。(2)当x0时：切线为yx，由得ax23x0仅有一解，得a1。综上知a1或a。答案：A二、填空题7(2016惠州调研)曲线C：y在点(1
4、,0)处的切线方程为_。解析：由f(x)，则f(x)。所以f(1)1，即切线l的斜率为1。又切线l过点(1,0)，所以切线l的方程为yx1，一般方程为xy10。答案：xy108(2016成都外国语学校月考)已知直线l过点(0，1)，且与曲线yxlnx相切，则直线l的方程为_。解析：将f(x)xlnx求导得f(x)lnx1，设切点为(x0，y0)，l的方程为yy0(lnx01)(xx0)，因为直线l过点(0，1)，所以1y0(lnx01)(0x0)，又y0x0lnx0，所以1x0lnx0x0(lnx01)，x01，y00，所以切线方程为yx1。答案：yx19(2016哈尔滨调研)已知函数f(x)
5、xsinxcosx的图象在点A(x0，y0)处的切线斜率为1，则tanx0_。解析：由f(x)xsinxcosx得f(x)cosxsinx，则kf(x0)cosx0sinx01，即sinx0cosx01，即sin1。所以x02k，kZ，解得x02k，kZ。故tanx0tantan。答案：三、解答题10(2016沧州模拟)已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)。(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b的值；(2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围。解析：f(x)3x22(1a)xa(a2)。(1)由题意得解得b0，a3或a1。
6、(2)因为曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实数根，所以4(1a)212a(a2)0，即4a24a10，所以a，所以a的取值范围为。11已知函数f(x)x，g(x)a(2lnx)(a0)。若曲线yf(x)与曲线yg(x)在x1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线。解析：根据题意有曲线yf(x)在x1处的切线斜率为f(1)3，曲线yg(x)在x1处的切线斜率为g(1)a。所以f(1)g(1)，即a3。曲线yf(x)在x1处的切线方程为yf(1)3(x1)，得：y13(x1)，即切线方程为3xy40。曲
7、线yg(x)在x1处的切线方程为yg(1)3(x1)。得y63(x1)，即切线方程为3xy90，所以，两条切线不是同一条直线。12已知函数f(x)x3x16。(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程。解析：(1)f(2)232166，点(2，6)在曲线上。f (x)(x3x16)3x21，在点(2，6)处的切线的斜率kf(2)322113。切线的方程为y13(x2)(6)即y13x32。(2)方法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜
8、率为f(x0)3x1，直线l的方程为：y(3x1)(xx0)xx016。又直线l过点(0,0)，0(3x1)(x0)xx016。整理得x8，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113，直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)。方法二：设直线l的方程为ykx，切点为(x0，y0)，则k。又kf(x0)3x1，3x1，解得x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113。直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)。(3)切线与直线y3垂直，斜率k4。设切点为(x0，y0)，则f (x0)3x14，x01，或切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18。即y4x18或y4x14。