1、2016年四川省凉山州高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共50分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合A=x|x2x0，B=0，1，2，则AB=（）AB0C0，1D0，1，22复数z=（i是虚数单位），则|z|=（）A1BCD23函数f（x）=sin（x+）图象的一条对称轴方程为（）Ax=Bx=Cx=Dx=4某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S=（）ABCD5某校高三年级共1500人，在某次数学测验后分析学生试卷情况，需从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90120分抽取250人，则该次测验中90分以下的人数是（）A600
2、B450C300D1506若某四面体的三视图是全等的等腰直角三角形，且其直角边的长为6，则该四面体的体积是（）A108B72C36D97，为单位向量，且|+2|=，则向量，夹角为（）A30B45C60D908实数x、y满足，这Z=3x+4y，则Z的取值范围是（）A1，25B4，25C1，4D5，249下列命题正确的是（）A“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件B“xR，x20”的否定是“x0R，x020”C“若a=4，则函数f（x）=ax2+4x1只有唯一一个零点”的逆命题为真命题D“函数f（x）=lnx2与函数g（x）=的图象相同”10已知关于x的方程x2+（1+a）x+1+a+
3、b=0（a，bR）的两根分别为x1、x2，且0x11x2，则的取值范围是（）ABCD二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11计算2lg2+lg25+（）0=_12设a、b为实数，且a+b=1，则2a+2b的最小值为_13在棱长为2的正方体A1B1C1D1ABCD中，则点B到平面A1B1CD的距离是_14设向量=（3cosx，1），=（5sinx+1，cosx），且，则cos2x=_15设数列an，bn，an+bn都是等比数列，且满足a1=b1=1，a2=2，则数列an+bn的前n项和Sn=_三、解答题（共6个小题，共75分）16信息时代，学生广泛使用手机，从某校学生中随机抽取200名，
4、这200名学生中上课时间和不上时间都不使用手机的共有37人，这200名学生每天在校使用手机情况如下表：分类人数（人）时间一小时以上一小时以内不使用合计上课时间2355m98不上课时间176817102合计40123n200利用以上数据，将统计的频率视为概率（1）求上表中m、n的值；（2）求该校学生上课时间使用手机的概率17在三棱柱ABCA1B1C1中，面BB1C1C是边长为2的正方形，点A1在平面BB1C1C上的射影H是BC1的中点，且A1H=，G是CC1的中点（1）求证：BB1A1G；（2）求C到平面A1B1C1的距离18函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a，b，cR）的导函数的图象如图
5、所示：（1）求a，b的值并写出f（x）的单调区间；（2）函数y=f（x）有三个零点，求c的取值范围19在数列an中，满足点P（an，an+1）是函数f（x）=3x图象上的点，且a1=3（1）求an的通项公式；（2）若bn=nan，求数列bn的前n项和Sn20设函数f（x）=x2+alnx+1（x0）（1）若f（3）=5，求f（）的值；（2）若x0时，f（x）1成立，求a的取值范围21如图，有一段长为18米的屏风ABCD（其中AB=BC=CD=6米），靠墙l围成一个四边形，设DAB=（1）当=60，且BCCD时，求AD的长；（2）当BCl，且ADBC时，求所围成的等腰梯形ABCD面积的最大值20
6、16年四川省凉山州高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合A=x|x2x0，B=0，1，2，则AB=（）AB0C0，1D0，1，2【考点】交集及其运算【分析】先化简集合A，再求AB【解答】解：集合A=x|x2x0=x|x（x1）0=x|0x1=0，1B=0，1，2，AB=0，1故选：C2复数z=（i是虚数单位），则|z|=（）A1BCD2【考点】复数求模【分析】分别求出分子、分母的模，即可得出结论【解答】解：复数z=，|z|=|=，故选：B3函数f（x）=sin（x+）图象的一条对称轴方程为（）Ax=B
7、x=Cx=Dx=【考点】正弦函数的对称性【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性，求得f（x）的图象的一条对称轴方程【解答】解：对于函数f（x）=sin（x+），令x+=k+，求得 x=k+，kZ，可得它的图象的一条对称轴为 x=，故选：B4某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S=（）ABCD【考点】循环结构【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n5时退出循环，输出S的值【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，n=1不满足条件n5，S=1+，n=2不满足条件n5，S=1+，n=3不满足条件n5，S=1+，n=4不满足条件n5，S=1+，n=5不满足条件n5，S=1+
8、，n=6满足条件n5，退出循环，输出S的值由于S=1+=故选：D5某校高三年级共1500人，在某次数学测验后分析学生试卷情况，需从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90120分抽取250人，则该次测验中90分以下的人数是（）A600B450C300D150【考点】分层抽样方法【分析】根据从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90120分抽取250人，即可得出结论【解答】解：从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90120分抽取250人，该次测验中90分以下抽取的人数是500100250=150该次
9、测验中90分以下的人数是150即抽样比k=，则该次测验中90分以下的人数是1500=450故选：B6若某四面体的三视图是全等的等腰直角三角形，且其直角边的长为6，则该四面体的体积是（）A108B72C36D9【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】四面体为边长为6的正方体沿着共点三面的对角线截出的三棱锥【解答】解：四面体的底面为直角边为6的等腰直角三角形，高为6四面体的体积V=36故选C7，为单位向量，且|+2|=，则向量，夹角为（）A30B45C60D90【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】对|+2|=两边平方，计算出数量积，代入夹角公式计算【解答】解：|+2|=，（+2）2=7，即+4+
10、4=7，=1，=，cos=，向量，夹角为60故选：C8实数x、y满足，这Z=3x+4y，则Z的取值范围是（）A1，25B4，25C1，4D5，24【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，2），联立，解得B（3，4），化目标函数Z=3x+4y为y=由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，Z有最小值为1；当直线y=过B时，直线在y轴上的截距最大，Z有最小值为25故选：A9下列命题正确的是（）A“b2=ac”是“a，b，c成等比
11、数列”的充要条件B“xR，x20”的否定是“x0R，x020”C“若a=4，则函数f（x）=ax2+4x1只有唯一一个零点”的逆命题为真命题D“函数f（x）=lnx2与函数g（x）=的图象相同”【考点】命题的真假判断与应用【分析】举例说明A错误；直接写出全称命题的否定判断B；举例说明C错误；写出分段函数说明D正确【解答】解：A错误，如a=0，b=0，c=1满足b2=ac，但a，b，c不成等比数列；B错误，“xR，x20”的否定是“x0R，x020”C错误，“若a=4，则函数f（x）=ax2+4x1只有唯一一个零点”的逆命题是：“若函数f（x）=ax2+4x1只有唯一一个零点，则a=4”，为假命
12、题，比如a=0，f（x）=0的根是；D正确，函数f（x）=lnx2是分段函数，分x0和x0分段可得函数g（x）=故选：D10已知关于x的方程x2+（1+a）x+1+a+b=0（a，bR）的两根分别为x1、x2，且0x11x2，则的取值范围是（）ABCD【考点】简单线性规划的应用【分析】由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0x11x2，结合对应二次函数性质得到，然后在平面直角坐标系中，做出满足条件的可行域，分析的几何意义，然后数形结合即可得到结论【解答】解：由程x2+（1+a）x+1+a+b=0的二次项系数为10故函数f（x）=x2+（1+a）x+1+a+b图象开口方向朝上又方程x
13、2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0x11x2则 即 即 其对应的平面区域如下图阴影示：=表示阴影区域上一点与原点边线的斜率由图可知故答案：二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11计算2lg2+lg25+（）0=3【考点】对数的运算性质【分析】直接利用对数运算法则以及有理指数幂的运算法则化简求解即可【解答】解：2lg2+lg25+（）0=lg4+lg25+1=lg100+1=2+1=3故答案为：312设a、b为实数，且a+b=1，则2a+2b的最小值为2【考点】基本不等式【分析】因为2a与2b均大于0，所以直接运用基本不等式求最小值【解答】解：a+b=1，当且仅当2a=2b，即
14、时“=”成立所以2a+2b的最小值为故答案为13在棱长为2的正方体A1B1C1D1ABCD中，则点B到平面A1B1CD的距离是【考点】棱柱的结构特征【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B到平面A1B1CD的距离【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，2，0），D（0，0，0），A1（2，0，2），C（0，2，0），=（2，2，0），=（2，0，2），=（0，2，0），设平面A1B1CD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得，点B到平面A1B1CD的距离是：d=点B到平面A1B1C
15、D的距离是故答案为：14设向量=（3cosx，1），=（5sinx+1，cosx），且，则cos2x=【考点】二倍角的余弦；平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】由条件利用两个向量平行的条件求得sinx的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2x的值【解答】解：向量=（3cosx，1），=（5sinx+1，cosx），且，3cos2x5sinx1=0，即 3sin2x+5sinx+2=0，求得sinx=2（舍去），或 sinx=，则cos2x=12sin2x=12=，故答案为：15设数列an，bn，an+bn都是等比数列，且满足a1=b1=1，a2=2，则数列an+bn的前n项和Sn=2n+12
16、【考点】等比数列的性质【分析】由题意，数列an+bn的首项为2，公比为2，利用等比数列的求和公式，即可得出结论【解答】解：由题意，数列ana1=1，a2=2，公比为2，设数列bn的公比为q，an+bn的公比为q，则2+q=2q，4+q2=2q2，q24q+4=0q=2，数列an+bn的首项为2，公比为2，Sn=2n+12故答案为：2n+12三、解答题（共6个小题，共75分）16信息时代，学生广泛使用手机，从某校学生中随机抽取200名，这200名学生中上课时间和不上时间都不使用手机的共有37人，这200名学生每天在校使用手机情况如下表：分类人数（人）时间一小时以上一小时以内不使用合计上课时间23
17、55m98不上课时间176817102合计40123n200利用以上数据，将统计的频率视为概率（1）求上表中m、n的值；（2）求该校学生上课时间使用手机的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）根据表格的合计数据计算，（2）求出上课时间使用手机的学生人数，除以数据总数得出频率，利用频率代替概率【解答】解：（1）m=982355=20，n=m+17=37（2）上课时间使用手机的人数为23+55=78该校学生上课时间使用手机的概率P=0.3917在三棱柱ABCA1B1C1中，面BB1C1C是边长为2的正方形，点A1在平面BB1C1C上的射影H是BC1的中点，且A1H=，G是C
18、C1的中点（1）求证：BB1A1G；（2）求C到平面A1B1C1的距离【考点】直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算【分析】（1）连接GH，由已知得A1H平面BB1C1C，可得A1HBB1，由中位线和条件得BB1HG，由线面垂直的判定定理可证结论成立；（2）取B1C1的中点E，连接HE、A1E，由题意和线面垂直的判定定理、定义得B1C1A1E，求出A1B1C1的面积，由等体积法求出C到平面A1B1C1的距离【解答】证明：（1）如图连接GH，点A1在平面BB1C1C上的射影H，A1H平面BB1C1C，BB1BC平面BB1C1C，A1HBB1，H是BC1的中点，G是CC1的中点，HGBC，由
19、B1BC=90知，BB1BC，BB1HGA1HHG=H，BB1平面A1HG，BB1A1G；解：（2）取B1C1的中点E，连接HE、A1E，由BB1C1=90得，HEB1C1，A1H平面BB1C1C，A1HB1C1，A1HHE=H，B1C1平面A1HE，B1C1A1E，H是BC1的中点，E是B1C1的中点，HEBB1，且HE=1，在A1HE中，A1E=2，=B1C1ABA1EBC=2，设C到平面A1B1C1的距离为h，由=VA得，A1E=h，则22=h2，解得h=，C到平面A1B1C1的距离是18函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a，b，cR）的导函数的图象如图所示：（1）求a，b的值并写出
20、f（x）的单调区间；（2）函数y=f（x）有三个零点，求c的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出原函数的图象可知，f（x）=0的两个根为1，2，根据根与系数的关系即可求出a，b的值，并由图象得到单调区间；（2）求出函数f（x）的极大值和极小值，由函数f（x）恰有三个零点，则函数的极大值大于0，且同时满足极小值小于0，联立可求c的取值范围【解答】解：（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f（x）=x2+2ax+b，f（x）=0的两个根为1，2，解得a=，b=2，由导函数的图象可知，当1x2时，f（x）0，函数单调递减，当x1或x2时，f（x）0，函数单调递增，故函数f（x
21、）在（，1）和（2，+）上单调递增，在（1，2）上单调递减（2）由（1）得f（x）=x3x22x+c，函数f（x）在（，1），（2，+）上是增函数，在（1，2）上是减函数，函数f（x）的极大值为f（1）=+c，极小值为f（2）=c而函数f（x）恰有三个零点，故必有，解得：c使函数f（x）恰有三个零点的实数c的取值范围是（，）19在数列an中，满足点P（an，an+1）是函数f（x）=3x图象上的点，且a1=3（1）求an的通项公式；（2）若bn=nan，求数列bn的前n项和Sn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）通过将点P（an，an+1）代入函数方程f（x）=3x化简可知an+1=3
22、an，进而可知数列an是首项为3、公比为3的等比数列，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知bn=n3n，进而利用错位相减法计算即得结论【解答】解：（1）点P（an，an+1）是函数f（x）=3x图象上的点，an+1=3an，又a1=3，数列an是首项为3、公比为3的等比数列，其通项公式an=3n；（2）由（1）可知bn=nan=n3n，Sn=13+232+n3n，3Sn=132+233+（n1）3n+n3n+1，错位相减得：2Sn=3+32+3nn3n+1=3n3n+1=3n+1，Sn=3n+1+20设函数f（x）=x2+alnx+1（x0）（1）若f（3）=5，求f（）的值；（2）若x0时
23、，f（x）1成立，求a的取值范围【考点】函数的值；函数恒成立问题【分析】（1）由f（3）=5得出aln3=5，再求出f（）的值（2）alnxx2然后讨论lnx的符号分离参数，转化为求得最大值或最小值问题【解答】解：（1）f（3）=10+aln3=5，aln3=5f（）=+aln=aln3=（2）x2+alnx+11，alnxx2若lnx=0，即x=1时，显然上式恒成立若lnx0，即x1时，a令g（x）=则g（x）=，当1x时，g（x）0，当x时，g（x）0，当x=时，g（x）取得最大值g（）=2ea2e若lnx0，即0x1时，a，由讨论可知g（x）在（0，1）上是增函数，且g（x）0，a0综上
24、，a的取值范围是2e，021如图，有一段长为18米的屏风ABCD（其中AB=BC=CD=6米），靠墙l围成一个四边形，设DAB=（1）当=60，且BCCD时，求AD的长；（2）当BCl，且ADBC时，求所围成的等腰梯形ABCD面积的最大值【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】（1）连接BD，作BOAD，垂足为O，利用三角函数，结合勾股定理，求AD的长；（2）由题意，梯形的高为6sin，AD=6+12cos，所围成的等腰梯形ABCD面积S=36sin（1+cos），利用导数确定单调性，即可求出所围成的等腰梯形ABCD面积的最大值【解答】解：（1）连接BD，作BOAD，垂足为O，则AO=3，BO=3，BD=6，OD=3，AD=AO+OD=3+3；（2）由题意，梯形的高为6sin，AD=6+12cos，所围成的等腰梯形ABCD面积S=36sin（1+cos），S=36（2cos1）（cos+1），0，S0，S0，=，S取得最大值272016年9月28日
