1、宁夏吴忠市吴忠中学2020-2021学年高二数学上学期9月开学分科考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合A，再求出其补集，然后求出集B，从而可求出结果【详解】因为，所以，又，所以故选：C【点睛】此题考查集的交集补集运算，考查函数定义域的求法，属于基础题2. 函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由于二次根式在分母上，所以只要被开方数大于零，同时对数真数大于零，解不等式组可得答案【详解】要使函数有意
2、义，则解得，即函数的定义域为故选：A【点睛】此题考查求具体函数的定义域，属于基础题3. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识信息处理能力阅读理解能力以及指数对数运算.4. 执行如图所示的程序框图
3、，输出的S值为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】第一次执行循环：,；第二次执行循环：,，满足2，结束循环，输出.【考点定位】 本小题考查了对算法程序框图的三种逻辑结构的理解，考查了数据处理能力和算法思想的应用.5. 已知函数，则A. 是奇函数，且在R上是增函数B. 是偶函数，且在R上是增函数C. 是奇函数，且在R上是减函数D. 是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】分析：讨论函数的性质，可得答案.详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数，又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.6. 设函数若，则实数的值为（ ）A.
4、 B. 8C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】分和两种情况求解即可【详解】当时，由，得，解得；当时，由，解得（舍去）综上所述，故选：D【点睛】此题考查由分段函数值求自变量的值，考查分类思想，属于基础题7. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是四棱柱与同底的四棱锥的组合体,所以其体积为,故应选C.考点：三视图及体积的计算8. 在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是（ ）A. 2张恰有一张是移动卡B. 2张至多有一张是移动卡C
5、. 2张都不是移动卡D. 2张至少有一张是移动卡【答案】B【解析】【分析】概率的事件可以认为是概率为的对立事件【详解】事件“2张全是移动卡”的概率是，它的对立事件的概率是，事件为“2张不全是移动卡”，也即为“2张至多有一张是移动卡”故选B【点睛】本题考查对立事件，解题关键是掌握对立事件的概率性质：即对立事件的概率和为19. 已知向量是单位向量，(3，4)，且在方向上的投影为，則A. 36B. 21C. 9D. 6【答案】D【解析】【分析】根据公式把模转化为数量积，展开后再根据和已知条件计算.【详解】因为在方向上投影为，所以， .故选D.【点睛】本题主要考查向量模有关的计算，常用公式有，.10.
6、 已知点是直线上的动点，点为圆的动点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可知，的最小值为圆心到直线的距离减去半径的差即为所求【详解】解：圆的圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离为，所以的最小值为故选：B【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题11. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得的值.【详解】.故选：B.【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式和诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.12. 已知函数，若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为（
7、 ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将整理为，根据方程可知或；根据整体所处的范围，可知有四个根需，解不等式求得取值范围.【详解】令，则 或 在上有四个实数根 解得： 故选：B【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数的取值范围的问题，关键是能够根据图象的特点，确定有四个实数根时角所处的范围，从而构造出不等关系求得结果.二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分13. 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为_,【答案】.【解析】试题分析：测度为体积，“安全飞行”为
8、一个小正方体，棱长为1，因此所求概率为考点：几何概型概率【方法点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域14. 直线x+2y=0被曲线x2+y26x2y15=0所截得的弦长等于 【答案】【解析】【详解】圆标准方程为，圆心，半径为5，圆心到直线的距离为，因此所截弦长为故答案为.15. 已知，则_【答案】【解析】【分析】先利用诱导公式化简，可得，而，从而可求得结果【详解】解：由，得，则，所以，所以，故答案为：【点睛】此题考查诱导公式的应
9、用和同角三角函数的关系的应用，属于基础题16. 已知函数的图象为，则：关于直线对称；关于点对称；在上是增函数；把的图象向右平移个单位长度可以得到图象以上结论正确有_（填所有正确的序号）【答案】【解析】【分析】根据三角函数的对称轴性质判断，对称中心的性质判断，求出单调区间判断，图象平移的方法判断.【详解】解：当时，为最小值，故关于直线对称，正确当时，为最大值，故不关于点对称，错误令，解得，因为，所以在上单调递增，故正确（或由及解所述知正确）把图象向右平移个单位长度，可得，故正确故答案为：【点睛】考查三角函数的图象变换以及性质，基础题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 已知
10、，（1）若，三点共线，求的值；（2）在（1）的条件下，求向量与的夹角的余弦值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求，根据得到，从而解出的值；（2）分别求出，根据求出答案【详解】（1），又，三点共线，解得（2）设向量与的夹角为，由（1）得，则，又，则即向量与的夹角的余弦值为【点睛】本题考查向量的知识点，涉及到向量平行以及数量积的知识点，属于基础题型.18. 某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以，分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数【答案】（1）；（2）众数是，中位数为【解析】试题分析：（1）利用频率之和为一可求得的值；（2）众数
11、为最高小矩形底边中点的横坐标；中位数左边和右边的直方图的面积相等可求得中位数试题解析：（1）由直方图的性质可得，（2）月平均用电量的众数是，月平均用电量的中位数在内，设中位数为，由，可得，月平均用电量的中位数为224考点：频率分布直方图；中位数；众数19. 已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)化简，再求函数的最小正周期；（2）先求出.再解不等式即得解.【详解】（1），所以函数的最小正周期是.（2）令，则，即.由题意知，解得，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，考查不等式
12、的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20. （1）直线在两坐标轴上的截距相等，且点到直线的距离为，求直线的方程（2）圆心在直线上，且与直线：相切于点，求圆的方程【答案】（1）或或；（2）.【解析】【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况设出直线方程，然后利用点到直线的距离公式列方程求解即可；（2）设圆的标准方程为，则由题意可得解方程组求出即可，或过切点且与垂直的直线，与联立可求得圆心为，再求点到点的距离可得到半径，从而可得圆的方程【详解】（1）当所求直线经过坐标原点时，设其方程为，由点到直线距离公式可得，解故所求直线的方程为当直线不经过坐标原点时，设所求直线为
13、，即由题意可得解或故所求直线的方程为或综上可知，所求直线的方程或或（2）法一：设圆的标准方程为，则有解得，所求圆的方程为法二：过切点且与垂直的直线，由，得，所以圆心为，所以半径，所以所求圆的方程为【点睛】此题考查直线方程的求法和圆的方程的求法，考查直线与圆的位置关系，属于基础题21. 有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响.据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：所用的时间/h10111213通过公路1的频数20402020通过公路2的频数10404010（1）为进行某项研究，从所用
14、时间为12h的60辆汽车中随机抽取6辆.（）若用分层随机抽样的方法抽取，求从通公路1和公路2的汽车中各抽取几辆；（）若从（）的条件下抽取的6辆汽车中，再任意抽取2辆汽车，求这2辆汽车至少有1辆通过公路1的概率.（2）假设汽车只能在约定时间的前11h出发，汽车只能在约定时间的前12h出发.为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物从城市甲运到城市乙，汽车和汽车应如何选择各自的道路？【答案】（1）（i）通过公路1的汽车中抽取（辆），从通过公路2的汽车中抽取（辆）.（ii）（2）汽车应选择公路1；汽车应选择公路2【解析】【分析】(1)（i）根据分层抽样的性质可直接求解；（ii）给抽取的汽车编号，列举出任
15、意抽取两辆汽车的所有等可能结果，再找出至少有一辆通过公路1的结果，利用古典概型的概率公式计算即可；(2)列出概率分布表，通过表格分别计算出汽车A选择公路1或公路2在11h内完成运输的概率并比较大小以及汽车B选择公路1或公路2在12h内完成运输的概率并比较大小，即可作出选择.【详解】（1）（）由分层随机抽样的特点，易得从通过公路1的汽车中抽取（辆），从通过公路2的汽车中抽取（辆）.（）记通过公路1的2辆汽车分别为，通过公路2的4辆汽车分别为，从6辆汽车中任意抽取2辆汽车共有15种可能的情况：.其中至少有1辆通过公路1的情况有9种，所以至少有1辆通过公路1的概率为.（2）作出频率分布表，如下：所用
16、的时间/h10111213通过公路1的频率0.20.40.20.2通过公路2的频率0.10.40.40.1设分别表示事件汽车在约定时间的前11h出发选择公路1，2将货物按时从城市甲运到城市乙；分别表示事件汽车在约定时间的前12h出发选择公路1，2将货物按时从城市甲运到城市乙.则，所以汽车应选择公路1.，所以汽车应选择公路2.【点睛】本题考查随机抽样，古典概型以及事件及其概率，属于基础题.22. 定义在上的奇函数，已知当时，（1）求在上的解析式；（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知可得，求出，从而可得时，当时，则有，再结合奇函数的可求得结果；（2）由，可化为，然后构造函数，利用其单调性求出在的最大值即可【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，时，所以，解得，所以时，当时，所以，又，所以，所以在上的解析式为（2）由（1）知，时，所以可化为，整理得，令，根据指数函数单调性可得，与都是减函数，所以也是减函数因为时，不等式恒成立，等价于在上恒成立，所以，只需，所以实数的取值范围是【点睛】此题考查函数的奇偶性的应用，考查函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，属于中档题