1、文科数学 第 页(共4页)开封市2023届高三年级第一次模拟考试 文科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A=x-1x3 ,B=-1,0,1,2 ,则 AB=A.2 B.-1,0 C.0,1,2 D.-1,0,1,2
2、 2.设命题p:xR,exx+1,则p 是A.xR,exx+1B.xR,exx+1C.xR,exx+1D.xR,exx+13.若a+4i4-3i是纯虚数,则实数a=A.-2B.2C.-3D.34.已知ABC 中,D 为BC 边上一点,且BD=13BC,则 AD=A.13AC+23ABB.23AC+13ABC.14AC+34ABD.34AC+14AB5.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的体积为A.36B.33C.3D.36.如图为甲、乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图,已知两位同学的平均成绩相等,则甲同学成绩的方差为A.4B.2C.3D.27.已知x+y-30,x-y
3、+10,x0,y0,则x+2y 的最大值为A.2B.3C.5D.68.设f(x)是定义域为 R 的偶函数,且在0,+)上单调递减,则满足f(x)0,b0 时,对 任 意 x 1,2使 得 不 等 式 f(x)x2-b+1 恒 成 立,证 明:a+12 2+b+12 22.4（文科）1开封市 2023 届高三年级第一次模拟考试数学（文科）参考答案一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）题号123456789101112答案CDDABBCDBACB二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.514.215.4 216.110三、解答题（共 70 分）17.（1）由已知，从甲、乙、丙三个不同地
4、区进口某种商品的数量之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 件商品，因此应从甲、乙、丙三个不同地区进口的某种商品中分别抽取 3 件，2 件，2 件4 分（2）（i）从抽取的 7 件商品中随机抽取 2 件商品的所有可能结果为：A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，A，G，B，C，B，D，B，E，B，F，B，G，C，D，C，E，C，F，C，G，D，E，D，F，D，G，E，F，E，G，F，G，共 21 种8 分（ii）由（1），不妨设抽取的 7 件商品中，来自甲地区的是 A，B，C，来自乙地区的是 D，E，来自丙地区的是 F，G，则从抽取的 7 件商品中随机抽取的 2 件商品来自相同地
5、区的所有可能结果为：A，B，A，C，B，C，D，E，F，G，共 5 种10 分所以，事件 M 发生的概率为516=12121P M12 分18.（1）因为 ABC，所以222BCA，得cossin22BCA，1 分由正弦定理，可得sinsinsinsin2AABA，sin0A，所以sinsin2AB，2 分又因为,A B 均为三角形内角，所以2AB，即2AB，3 分又因为 23ab，即 2sin3sinAB，即 4sincos3sinBBB，4 分sin0B，得3cos4B；5 分（2）若3a，则2b，由（1）知3cos4B，由余弦定理2222cosbacacB可得29502cc，7 分即52
6、02cc，所以2c 或 52，9 分当2c 时，bc，则22ABC，即 ABC为等腰直角三角形，又因为2ab，此时不满足题意，11 分所以52c.12 分19.（1）取CF 的中点 D，连接 DMDN，MN，分别是 AFCE，的中点，DMACDNEF，又DMABCACABC平面，平面，.DMABC平面2 分（文科）2又 EFAB，DNAB，同理可得，DNABC平面.3 分=DMMNDDNMNDDMDN D平面，平面，.MNDABC平面平面5 分.MNMNDMNABC平面，平面6 分（2）取 AB 的中点O，连接OCOE，.由已知得=OAEF，OAFE是平行四边形，=OEAF.7 分ABC是正三
7、角形，OCAB，ABCABEF平面平面，=ABCABEF AB平面平面，OCABEF 平面，又OEABEF 平面，OCOE.8 分设1=2AF EF EBAB a，=3OCa，在 Rt COE中，由222+=OCOECE，解得=2a，即1=22AF EF EBAB.9 分由题意=60FAB，M 到 AB 的距离3sin60=2hAM即为 M 到ABC平面的距离10 分又 MNABC平面，1113=4 2 3=2.3322N ABCM ABCABCVVSh 12 分20.（1）由已知可得：0cos2)(axxf，2 分即xacos2恒成立，则有2,(a.4 分（2）由已知可得：1()2cos1g
8、 xxx，令()=()h xg x，21()2sinh xxx 在(0,2 上单调递减，6 分又因为0)6(1)6(2 h，016sin211sin2)1(h，所以存在)16(0，x使得0)(xh，即2001sin2xx，从而20400214cosxxx8 分则有x),0(0 x)2,(0 x)(xh正负)(xg递增递减则有)(xg最大值为：)(0 xg0011cos2xx020401114xxx02040114xxx01=1x0，所以)(xg0，10 分则)(xg在(0,2 上单调递减，所以最小值为)2ln(22)2(g.12 分21.（1）由题意可得2=1NDDM，所以椭圆1C 的长半轴长
9、为 2，短半轴长为 1，2 分（文科）3所以椭圆1C 的方程为：22+=14xy.4 分（2）若直线l 的斜率不存在，依题意，=1lx：，带入1C 方程可得=3AB，此时32 2=23S，所以直线l 的斜率一定存在，设=+ly kx m：，l 与圆2C 相切，所以222=1=+1+1mmkk，即，6 分联立22+=14=+xyy kx m，可得2221+4+8+44=0kxkmxm，2222=6416 1 4100k mkmk由得，2121222418=1 41 4mkmxxx xkk，8 分22222222121212224 1+1+44 1+3=1+=1+4=1+41+4kkmkkABkx
10、xkxxx xkk，10 分由2 2=3S得2224 21+32=31+43kkABk，即，即42511+2=0kk，解得5=2=5kk或12 分22.（1）消去参数 t 可得：22xpy，将点2,4 带入可得12p，2 分所以曲线 C 的普通方程为：yx 2.4 分（2）由已知得：OBOA,的斜率存在且不为 0，设OA 的斜率为 k，方程为kxy，则OB 的方程为：xky1，联立方程2ykxxy，可得：2,kkA，同理可得：211,Bk k，6 分设yxM,，所以22112112xkkykk，8 分所以24x222122ykk，所以22x1y即为点 M 轨迹的普通方程.10 分23.（1）当1a 时，121xxxf，当 min1,31,14;xf xxf xf 当 11,3,2,4;xf xxf x 当 min1,31,12;xf xxf xf2 分当1a 时，f x 的最小值为 2.4 分（2）00ab，当12x时，221+1x axxb 可化为233a bxx 6 分令 233h xxx，1,2x，max11h xh，1ab，8 分222221111222222ababababab.10 分
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