1、-1-3.2 简单的三角恒等变换-2-习题课三角恒等变换的应用-3-第三章 三角恒等变换 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 学 习 目 标 思 维 脉 络 1.能利用三角恒等变换讨论三角函数的性质.2.利用所学公式进行三角恒等变换,总结三角恒等变换的方法.3.掌握三角恒等变换在实际问题中的应用.-4-第三章 三角恒等变换 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 1.升降幂公式 (1)升幂公式:1+cos=2cos22;1-cos=2sin22.(2)降幂
2、公式:sin2=1-cos 22;cos2=1+cos2 2.-5-第三章 三角恒等变换 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 做一做1 函数f(x)=cos2x+4,xR,则f(x)()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数,也是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数-6-第三章 三角恒等变换 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 解析:f(x)=1+cos 2+2 2=12 12sin 2x,xR,f(-x)=12 12sin 2(-x)=12+12si
3、n 2x.f-4=12+12sin2=1,f 4=12 12sin2=0,f-4 f 4,f-4-f 4.f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.答案:D -7-第三章 三角恒等变换 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 2.辅助角公式 asin x+bcos x=2+2sin(x+)其中 sin=2+2,cos=2+2,tan=.-8-第三章 三角恒等变换 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 做一做2 函数f(x)=sin x-cos x(x-,0)的单调
4、递增区间是()A.-,-56 B.-56,-6 C.-3,0 D.-6,0 解析:f(x)=2 12 sin-32 cos=2sin -3,令 2k-2x-32k+2,kZ,得 2k-6x2k+56,kZ.又 x-,0,x-6,0.答案:D 3-9-第三章 三角恒等变换 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一三角函数式的化简与求值 【例 1】化简:1+sin2-cos2 1+sin2+cos2.分析:利用二倍角公式,在分子、分母中构造出“-1”,消去“1”,进而化简三角函数式.解:原式
5、=1+sin2-cos2 1+sin2+cos2=1+2sin cos-(1-2sin2)1+2sin cos+(2cos2-1)=2sin cos+2sin22sin cos+2co s2=2sin(cos+sin)2cos(sin+cos)=tan.-10-第三章 三角恒等变换 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 规范解答-11-第三章 三角恒等变换 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究
6、二三角恒等式的证明 【例 2】求证:2sin cos(sin+cos-1)(sin-cos+1)=1+cos sin.分析:利用“升、降幂公式”与“二倍角公式”,由左边右边.-12-第三章 三角恒等变换 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 规范解答 证明:原式=2sincos 2sin 2 cos 2-2sin2 2 2sin 2 cos 2+2sin2 2=2sin cos 4sin22 co s22-sin22=sin 2sin22=cos 2sin 2=2co s222sin 2cos 2=1
7、+cos sin =右边.所以原等式成立.-13-第三章 三角恒等变换 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 规范解答-14-第三章 三角恒等变换 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 规范解答 变式训练 1 证明:sin4 1+cos4 cos2 1+cos2 cos 1+cos=tan2.证明:左边=2sin2 cos2 2co s22cos2 1+cos2 cos 1+cos=sin2 1+cos2 c
8、os 1+cos=2sin cos 2co s2cos 1+cos=sin 1+cos =2sin 2cos 22co s22=tan2=右边.所以原等式成立.-15-第三章 三角恒等变换 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究三三角恒等变换在实际中的应用 【例3】已知点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT,且PT=1,PAB=,问为何值时,四边形ABTP的面积最大?分析:解答本题应先画图,再用变量表示四边形ABTP的面积,最后利用三角公式求最值,得出的值.-16-第三章 三
9、角恒等变换 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 规范解答 解:如图所示,AB为直径,APB=90.又AB=1,PA=cos,PB=sin.PT切圆于点P,TPB=PAB=.S四边形ABTP=SPAB+STPB=PAPB+PTPBsin 1212-17-第三章 三角恒等变换 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 规范解答=12sin cos+12sin2=14sin 2+14(1-cos 2)=14(sin
10、2-cos 2)+14=24 sin 2-4+14.02,-42-4 34.当 2-4=2,即=38 时,S 四边形 ABTP 最大.-18-第三章 三角恒等变换 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 规范解答-19-第三章 三角恒等变换 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 规范解答 变式训练2 如图,已知矩形ABCD中,AB=a,AD=b,试求其外接矩形EFGH面积的最大值.-20-第三章 三角恒等变换
11、XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 规范解答 解:设CBF=,则EAB=,EB=asin,BF=bcos,AE=acos,HA=bsin,所以S矩形EFGH=(bsin+acos)(bcos+asin)=b2sin cos+absin2+abcos2+a2sin cos =sin 2+ab.由|sin 2|1,知当=45时,S矩形EFGH取得最大值为(a2+b2)+ab.12 2+2 12-21-第三章 三角恒等变换 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJ
12、IEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 规范解答 三角恒等变换与三角函数性质的综合应用【审题策略】先利用三角恒等变换将函数f(x)的解析式化成f(x)=Asin(x+)+k的形式,然后确定其性质.典例(2015重庆高考)已知函数 f(x)=sin 2-sin x-3cos2x.(1)求 f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论 f(x)在 6,23 上的单调性.-22-第三章 三角恒等变换 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 规范解答【规范展示】解:(1)f(x)=sin 2-sin x-
13、3cos2x=cos xsin x-32(1+cos 2x)=12sin 2x-32 cos 2x-32=sin 2-3 32,因此 f(x)的最小正周期为,最大值为2-32.-23-第三章 三角恒等变换 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 规范解答(2)当 x 6,23 时,02x-3,从而当 02x-3 2,即6x512时,f(x)单调递增;当22x-3,即5120)的最小正周期为.(1)求的值;(2)求函数f(x)在区间上的取值范围.解:(1)f(x)=1-cos2 2+32 sin 2x=32 sin 2x-12cos 2x+12=sin 2-6+12.因为函数 f(x)的最小正周期为,且 0,所以22=,解得=1.3 +2 0,23 -32-第三章 三角恒等变换 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 1 2 3 4 5(2)由(1)得 f(x)=sin 2-6+12.因为 0 x23,所以-62x-6 76.所以-12sin 2-6 1.因此,0sin 2-6+12 32,即 f(x)的取值范围为 0,32.