1、章末综合测评(三)数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设复数z满足zi3i，则()A12iB12iC32iD32i【解析】由zi3i得z32i，32i，故选C.【答案】C2若复数zi(32i)(i是虚数单位)，则()A23iB23iC32iD32i【解析】zi(32i)3i2i223i，23i.【答案】A3若i(xyi)34i(x，yR)，则复数xyi 的模是()A2B3C4D5【解析】由i(xyi)34i，得yxi34i，解得x4，y3，所以复数xyi的模为5.【答案】D
2、4若复数z，其中i为虚数单位，则()A1iB1iC1iD1i【解析】z1i，1i.【答案】B5“m1”是“复数z(1mi)(1i)(mR，i为虚数单位)为纯虚数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】z(1mi)(1i)1imim(1m)(1m)i，若m1，则z2i为纯虚数；若z为纯虚数，则m1.故选C.【答案】C6设zC，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在() 【导学号：81092054】A实轴上B虚轴上C直线yx(x0)上D以上都不对【解析】设zabi(a，bR)，z2a2b22abi为纯虚数，ab，即z在复平面上的对应点在直线yx(x0)上
3、【答案】C7设复数z满足i，则|1z|()A0B1C.D2【解析】i，zi，|z1|1i|.【答案】C8设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若zi22z，则z()A1iB1iC1iD1i【解析】设zabi(a，bR)，由zi22z，得(abi)(abi)i22(abi)，即(a2b2)i22a2bi，由复数相等的条件得得z1i.【答案】A9若zcos isin (i为虚数单位)，则使z21的值可能是()A.B.C.D.【解析】z2(cos isin )2(cos2sin2)2isin cos cos 2isin 21，22k(kZ)，k(kZ)，令k0知选D.【答案】D10当z时，z100z5
4、01的值是()A1B1CiDi【解析】原式10050150251(i)50(i)251i.故应选D.【答案】D11在复平面上，正方形OBCA的三个顶点A，B，O对应的复数分别为12i，2i,0，则这个正方形的第四个顶点C对应的复数是()A3iB3iC13iD13i【解析】正方形的三个顶点的坐标分别是A(1,2)，B(2,1)，O(0,0)，设第四个顶点C的坐标为(x，y)，则，(x2，y1)(1,2)第四个顶点C的坐标为(1,3)【答案】D12复数z(x2)yi(x，yR)在复平面内对应向量的模为2，则|z2|的最大值为()A2B4C6D8【解析】由于|z|2，所以2，即(x2)2y24，故点
5、(x，y)在以(2,0)为圆心，2为半径的圆上，而|z2|xyi|，它表示点(x，y)与原点的距离，结合图形易知|z2|的最大值为4，故选B.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中横线上)13复数z(12i)(3i)，其中i为虚数单位，则z的实部是_【解析】因为z(12i)(3i)3i6i2i255i，所以z的实部是5.【答案】514复数z12，z22i3分别对应复平面内的点P，Q，则向量对应的复数是_【解析】z121，z22i32i，P(1,0)，Q(2,1)，(3,1)，即对应的复数为3i.【答案】3i15定义运算adbc，则对复数zxyi(x，yR)符合
6、条件32i的复数z等于_ 【导学号：81092055】【解析】由定义运算，得2ziz32i，则zi.【答案】i16复数z(a2)(a1)i，aR对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是_【解析】复数z(a2)(a1)i对应的点的坐标为(a2，a1)，因为该点位于第二象限，所以解得1a2.由条件得|z|，因为1a2，所以|z|.【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知复数x2x2(x23x2)i(xR)是420i的共轭复数，求实数x的值【解】复数420i的共轭复数为420i，x2x2(x23x2)i420i，x3.
7、18(本小题满分12分)已知复数z(2i)m22(1i)，当实数m取什么值时，复数z是：(1)虚数；(2)纯虚数【解】z(2i)m23m(1i)2(1i)(2m23m2)(m23m2)i，(1)当m23m20，即m2且m1时，z为虚数(2)当即m时，z为纯虚数19(本小题满分12分)设复数z，若z2azb1i，求实数a，b的值【解】z1i.将z1i代入z2azb1i，得(1i)2a(1i)b1i，(ab)(a2)i1i，所以所以20(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为12i，26i，OABC.求顶点C所对应的复数z.【解】设zxyi，x，yR，因为OA
8、BC，|OC|BA|，所以kOAkBC，|zC|zBzA|，即解得或因为|OA|BC|，所以x23，y24(舍去)，故z5.21(本小题满分12分)已知复数z满足|z|13iz，求的值【解】设zabi(a，bR)，而|z|13iz，即13iabi0，则解得，z43i，34i.22(本小题满分12分)已知关于x的方程：x2(6i)x9ai0(aR)有实数根b.(1)求实数a，b的值；(2)若复数z满足|abi|2|z|0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的值. 【导学号：81092056】【解】(1)b是方程x2(6i)x9ai0(aR)的实根，(b26b9)(ab)i0，解得ab3.(2)设zxyi(x，yR)，由|33i|2|z|，得(x3)2(y3)24(x2y2)，即(x1)2(y1)28，复数z对应的点Z的轨迹是以O1(1,1)为圆心，2为半径的圆，如图所示当点Z在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值，|OO1|，半径r2，当z1i时，|z|有最小值且|z|min.