1、第二部分 讲练篇 专题五 解析几何第1讲 直线与圆自 主 练 考 点 整 合 做小题激活思维1直线(a2)x(1a)y30与直线(a1)x(2a3)y20互相垂直，则a()A1 B1C1D32C 由(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a1，故选C.2直线l过点(2,2)，且点(5,1)到直线l的距离为10，则直线l的方程是()A3xy40B3xy40C3xy40Dx3y40C 由题意，设直线l的方程为y2k(x2)，即kxy22k0，所以|5k122k|k2110，解得k3，所以直线l的方程为3xy40，故选C.3圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切B相交C
2、外切D相离B 两圆心距离d22212 17，Rr235，rR1，rRdRr，两圆相交4直线4x3y0与圆(x1)2(y3)210相交所得的弦长为_6 假设直线4x3y0与圆(x1)2(y3)210相交所得的弦为AB，圆的半径r 10，圆心到直线的距离d532421，弦长|AB|2 r2d22 101236.5一题多解经过三点A(1,0)，B(3,0)，C(1,2)的圆的方程为_(x1)2y24 法一：(待定系数法)设圆的方程为x2y2DxEyF0，将A(1,0)，B(3,0)，C(1,2)的坐标代入圆的方程可得1DF0，93DF0，14D2EF0，解得D2，E0，F3，所以圆的方程为(x1)2
3、y24.法二：(几何法)根据A，B两点的坐标特征可知圆心在直线x1上，设圆心坐标O(1，a)，则圆的半径r4a2|a2|，所以a0，r2，所以圆的方程为(x1)2y24.6已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_(2，4)5 由题意可知a2a2，a1或2.当a1时，方程可化为x2y24x8y50，即(x2)2(y4)225，故圆心为(2，4)，半径为5.当a2时，方程可化为x2y2x2y520，不表示圆扣要点查缺补漏1直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20的位置关系(1)平行A1B2A2B10(斜率相等)且B1C2B2C10(在y轴上
4、截距不等)；(2)直线Ax1B1yC10与直线Ax2B2yC20垂直A1A2B1B20.如T1.2点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P(x0，y0)到直线AxByC0的距离d|Ax0By0C|A2B2；如T2.(2)两平行线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离为d|C1C2|A2B2.3圆的方程(1)标准方程：(xa)2(yb)2r2；(2)一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)；(方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆AC0，且B0，D2E24AF0)；如T5，T6.(3)参数方程：xarcos ybrsin；(4)直径式方程：(xx1)(xx2)(yy1)
5、(yy2)0.4点、直线、圆的位置关系(1)研究点、直线、圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题如T3.(2)与弦长l有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长 l2，构成直角三角形的三边，利用其关系r2d2l22来处理如T4.研 考 题 举 题 固 法 圆的方程及应用(5年4考)高考解读 圆的方程求法以待定系数法为主，主要考查方程思想及数学运算的能力，与圆有关的最值问题主要考查等价转化及数形结合的意识，均属于中档题目.1(2015全国卷)已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.
6、53 B.213 C.2 53 D.43B 设圆的一般方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，1DF0，3 3EF0，72D 3EF0，D2，E4 33，F1，ABC外接圆的圆心为1，2 33，故ABC外接圆的圆心到原点的距离为 12 332 213.2(2018全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6B4,8C 2，3 2D2 2，3 2A 由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r 2，圆心到直线xy20的距离d|22|112 2，所以圆上的点到直线的最大距离是dr32，最小距离是dr2.易知A(2,0)，B(0
7、，2)，所以|AB|2 2，所以2SABP6.故选A.解决与圆有关的问题一般有2种方法(1)几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数1(借助几何性质求圆的方程)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆C的方程为()Ax2y22x30Bx2y24x0Cx2y24x0Dx2y22x30C 由题意设所求圆的方程为(xm)2y24(m0)，则|3m4|32422，解得m2或m143(舍去)，故所求圆的方程为(x2)2y24，即x2y24x0.故选C.2(借助待定系数法求圆的
8、方程)已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成的两段弧长之比为12，则圆C的方程为_x2y 33243 因为圆C关于y轴对称，所以圆心C在y轴上，可设C(0，b)，设圆C的半径为r，则圆C的方程为x2(yb)2r2.依题意，得12b2r2，|b|12r，解得r243，b 33.所以圆C的方程为x2y 33243.3一题多解(平面向量与圆的交汇)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若ABCD 0，则点A的横坐标为_3 法一：设A(a,2a)，a0，则Ca52，a，圆C的方程为xa522(ya)2a52
9、4a2，由xa522ya2a524a2，y2x，得xD1，yD2，ABCD(5a，2a)a32，2a a22a1522a24a0，a3或a1，又a0，a3，点A的横坐标为3.法二：由题意易得BAD45.设直线DB的倾斜角为，则tan 12，tanABOtan(45)3，kABtanABO3.AB的方程为y3(x5)，由y3x5，y2x，得xA3.直线与圆、圆与圆的位置关系高考解读 以直线与圆相交、相切为载体，考查数形结合的能力，圆的几何性质及勾股定理的有关知识，知识相对综合，有一定的区分度.1(2016全国卷)已知直线l：mxy3m3 0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与
10、x轴交于C，D两点若|AB|2 3，则|CD|_.4 由直线l：mxy3m30知其过定点(3，3)，圆心O到直线l的距离为d|3m 3|m21.由|AB|2 3得3m 3m212(3)212，解得m 33.又直线l的斜率为m 33，所以直线l的倾斜角6.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CEBD，则DCE6.在RtCDE中，可得|CD|AB|cos 2 3 234.2(2015全国卷)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若OM ON 12，其中O为坐标原点，求|MN|.解(1)由题设，可知直线l的方程为ykx1.因为直
11、线l与圆C交于两点，所以|2k31|1k2 1，解得4 73k4 73.所以k的取值范围为4 73，4 73.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)将ykx1代入圆的方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x241k1k2，x1x271k2.OM ON x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)1 4k1k1k2 8.由题设可得4k1k1k2 812，解得k1，所以l的方程为yx1.故圆C的圆心(2,3)在直线l上，所以|MN|2.1求解圆的弦长的3种方法几何法根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2d2l24(其中l为弦长，r为
12、圆的半径，d为圆心到直线的距离)公式法根据公式l1k2|x1x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)距离法联立直线与圆的方程，解方程组求出两交点坐标，用两点间距离公式求解 2.直线与圆相切问题的求解策略(1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式；(2)切线长的计算：过点P向圆引切线PA，则|PA|PC|2r2(其中C为圆心)提醒：过圆外一点引圆的切线定有两条，注意切线斜率不存在的情形1(已知弦长求方程)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2)
13、2(y3)21 交于 M，N 两点，若|MN|2 55，则直线 l 的方程为_y2x1 或 y12x1 直线 l 的方程为 ykx1，圆心 C(2,3)到直线 l 的距离 d|2k31|k21|2k2|k21，由 R2d2|MN|22，得 12k22k21 15，解得 k2 或12，故所求直线 l 的方程为 y2x1 或 y12x1.2(与不等式交汇)过点(2，0)引直线 l 与曲线 y 1x2相交于A，B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于()A.33 B 33C 33D 3B 曲线 y 1x2的图象如图所示：若直线 l 与曲线相交于 A，B 两点，则直线
14、 l 的斜率 k0，设 l：yk(x 2)，则点 O到 l 的距离 d 2kk21.又 SAOB12|AB|d122 1d2d 1d2d21d2d2212，当且仅当 1d2d2，即 d212时，SAOB 取得最大值，所以 2k2k2112，k213，k 33.故选 B.3(与物理学科交汇)一条光线从点(2，3)射出，经 y 轴反射后与圆(x3)2(y2)21 相切，则反射光线所在直线的斜率为()A53或35B32或23C54或45D43或34D 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，3)，设反射光线所在直线的斜率为 k，则反射光线所在直线方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30.
15、又因为光线与圆(x3)2(y2)21 相切，所以|3k22k3|k211，整理得 12k225k120，解得 k43或 k34.4(综合应用)已知圆 M：(x1)2y21，圆 N：(x1)2y29，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程；(2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|.解 由已知得圆 M 的圆心为 M(1,0)，半径 r11；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R.(1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆
16、 N 内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24y231(x2)(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以 R2，当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时，R2.所以当圆 P 的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若 l 的倾斜角为 90，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|2 3.若 l 的倾斜角不为 90，由 r1R 知 l 不平行于 x 轴，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则|QP|QM|Rr1，可求得 Q(4,0)，所以可设 l：yk(x4)由l 与圆 M 相切得|3k|1k21，解得 k 24.当 k 24 时，将 y 24 x 2代入x24y231，并整理得 7x28x80，解得 x1,246 27.所以|AB|1k2|x2x1|187.当 k 24 时，由图形的对称性可知|AB|187.综上，|AB|2 3或|AB|187.Thank you for watching!