1、学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1下列说法正确的是()A由合情推理得出的结论一定是正确的B合情推理必须有前提有结论C合情推理不能猜想D合情推理得出的结论无法判定正误【解析】合情推理得出的结论不一定正确，故A错；合情推理必须有前提有结论，故B对；合情推理中类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，可进行猜想，故C错；合情推理得出的结论可以进行判定正误，故D错【答案】B2下面使用类比推理恰当的是()A“若a3b3，则ab”类比推出“若a0b0，则ab”B“(ab)cacbc”类比推出“(ab)cacbc”C“(ab)cacbc”类比推出“(c0)”
2、D“(ab)nanbn”类比推出“(ab)nanbn”【解析】由实数运算的知识易得C项正确【答案】C3用火柴棒摆“金鱼”，如图217所示，图217按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A6n2B8n2C6n2D8n2【解析】从可以看出，从第个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n2.【答案】C4对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A一条中线上的点，但不是中心B一条垂线上的点，但不是垂心C一条角平分线上的点，但不是内心D
3、中心【解析】由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心【答案】D5已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，则第57个数对是()A(2,10)B(10,2)C(3,5)D(5,3)【解析】由题意，发现所给数对有如下规律：(1,1)的和为2，共1个；(1,2)，(2,1)的和为3，共2个；(1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个；(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5
4、个由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n1个数对易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)【答案】A二、填空题6观察下列特殊的不等式：2，3，5，275，由以上特殊不等式，可以猜测：当ab0，s，rZ时，有_.【解析】221，352，583，275105，由以上特殊不等式，可以猜测：当ab0，s，rZ时，有sr.【答案】sr7二维空间中圆的一维测度(周长)l2r，二维测度(面积)Sr2，观察发现Sl；三维空间中球的二维测度(表面积)S4r2，三维测度(体积)Vr3，观察发现VS.已知四维空间中“超球”的三维测度V8r3，猜想其四维测度W_.【
5、解析】因为V8r3，所以W2r4，满足WV.【答案】2r48已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b929.若an为等差数列，a52，则an的类似结论为_【解析】结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3b929可得，在an中，若a52，则有a1a2a3a929.【答案】a1a2a3a929三、解答题9已知数列an的前n项和为Sn，a1且Sn2an(n2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式【解】先化简递推关系：n2时，anSnSn1，Sn2SnSn1，Sn120.当n1时，S1a1.当n2时，2S1，S2.当n3时，2S2，S3.当n4时，2S3，S4.猜想：Sn，nN.
6、10在RtABC中，ABAC，ADBC于D，求证：，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由【证明】如图所示，由射影定理，得AD2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC，.又BC2AB2AC2，.猜想，在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE平面BCD，则.证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.ABAC，ABAD，ACADA，AB平面ACD，又AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.1根据给出的数塔，猜测123 45697等于()19211；1293111；123941 111；1 2349511 11
7、1；12 34596111 111；A1 111 110B1 111 111C1 111 112D1 111 113【解析】由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123 456971 111 111，故选B.【答案】B2已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则2”若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则()A1B2C3D4【解析】如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等体积法
8、有4rr，故AOAMMO，故AOOM31.【答案】C3如图218所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于_ 【导学号：81092015】图218【解析】如图所示，设双曲线方程为1(a0，b0)，则F(c,0)，B(0，b)，A(a,0)，所以(c，b)，(a，b)又因为，所以b2ac0，所以c2a2ac0，所以e2e10，所以e或e(舍去)【答案】4某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15c
9、os 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论【解】(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.