1、单县五中高二上学期第一次月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知平面和平面的法向量分别为，则（ ）A. B. C. 与相交但不垂直D. 以上都不对【答案】A【解析】【分析】根据向量的数量积运算结果，即可判断.【详解】因为故可得，则平面和平面垂直.故选：A.【点睛】本题考查平面的法向量垂直，与平面垂直之间的等价关系.2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意，根据点关于平面的对称点，求得的坐标，利用向量的数量积的坐标运算，即求解.【详解】由题
2、意，空间直角坐标系中，点关于平面的对称点，所以,则，故选D.【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系的应用，以及空间向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记空间向量数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3. 如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且，用表示向量为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由图可得，进一步化为以表示，即可得出结果.【详解】由图可知，.故选：C.【点睛】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题.4. 已知正四面体的棱长为a，点E，F分别是的中点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】
3、C【解析】【分析】把要求数量积的两个向量表示成以四面体的棱长为基底的向量的表示形式，写出向量的数量积，问题转化成四面体的棱之间的关系，因为棱长和夹角已知，得到结果【详解】解：故选：C.【点睛】本题考查空间向量的数量积，解题的关键是把要用的向量写成以已知几何体的一个顶点为起点的向量为基地的形式，再进行运算5. （多选题）已知直线l过点，平行于向量，平面过直线l与点，则平面的法向量可能是（ ）A. (1，4，2)B. C. D. (0，1，1)【答案】ABC【解析】【分析】由题可知所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，所以利用向量垂直的判定验证即可【详解】解：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向
4、量，和向量，而，选项A，满足垂直，故正确；选项B，满足垂直，故正确；选项C，满足垂直，故正确；选项D，但，故错误故选：ABC【点睛】此题考查平面的法向量，向量的数量积运算，属于基础题.6. 在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】画出图形，作，则，可得，沿轴将坐标平面折成的二面角，故两异面直线所成的角为，结合已知，即可求得答案.【详解】如图为折叠后的图形，其中作则，沿轴将坐标平面折成的二面角两异面直线所成的角为可得：故由得故选：D.【点睛】本题考查了立体几何体中求线段长度，解题的关键是作图和掌握空间向
5、量的距离求解公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.7. 在三棱锥中，底面ABC，则点C到平面PAB的距离是 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到平面PAB的距离【详解】在三棱锥中，底面ABC，以A原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则4，4，0，0，4，0，4，设平面PAB的法向量y，则，取，得，点C到平面PAB的距离故选B【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求
6、解能力，是中档题8. 已知空间直角坐标系中，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，根据点在直线上，求得，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得时，取得最小值，即可求解.【详解】设，由点在直线上，可得存在实数使得，即，可得,所以,则，根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时.故选：C.【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符
7、合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 空间四个点O，A，B，C，为空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）A. O，A，B，C四点不共线B. O，A，B，C四点共面，但不共线C. O，A，B，C四点中任意三点不共线D. O，A，B，C四点不共面【答案】D【解析】【分析】用空间向量的定义进行判断，不共面的三个向量可以作为空间的一个基底.【详解】由空间基底的定义，三个向量不共面，但选项A，B，C三种情形都有可能使共面，只有D才能使这三个向量不共面.故选：D.【点睛】本题考查基底的概念，属于基础题.10. 下列各式中，结果为零向量的是（ ）A. B. C. D. 【答
8、案】BD【解析】【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项：，选项不正确；对于选项： ，选项正确；对于选项：，选项不正确；对于选项：选项正确.故选：BD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.11. 已知，,且与夹角为，则的取值可以是（ ）A. 17B. -17C. -1D. 1【答案】AC【解析】【分析】根据向量的数量积公式的推论得夹角公式求解即可.【详解】解:因为,且，,与夹角为.所以,解得或.故选:AC【点睛】本题考查向量的数量积公式求参数,属于基础题.12. （多选题）在四面体中，以上说法正确的有（ ）A. 若，则可知B. 若为的重
9、心，则C. 若，则D. 若四面体各棱长都为2，分别为的中点，则 【答案】ABC【解析】【分析】作出四面体直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.【详解】对于 ， ， ，即，故正确；对于，为的重心，则，,即，故正确；对于，若，则，,，故正确； 对于，故错误.故选：ABC【点睛】用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，
10、共20分.13. 如图，非零向量，且，C为垂足，设向量，则的值为_（用与的数量积和其模表示）【答案】【解析】【分析】由，得，即可求出.【详解】，即，.故答案为：.【点睛】本题考查向量的线性运算，考查向量垂直，考查数量积的运算，属于基础题.14. 如图，已知正三棱柱的所有棱长均相等，D为的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为_【答案】.【解析】【分析】先证出B1D平面AC1，过A点作AGCD，证AG平面B1DC，可知ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，求其正弦即可【详解】如图，连接B1D，因为三角形为正三角形，则， 又平面 平面AC1，交线为，B1D平面 ，则B1D平面AC1，过A点作AG
11、CD，则由B1D平面AC1，得AGB1D，由线面垂直的判定定理得AG平面B1DC，于是ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，由已知，不妨令棱长为2，则可得ADCD，由等面积法算得AG所以直线AD与面DCB1的正弦值为 ；故答案为【点睛】考查正棱柱的性质以及线面角的求法考查空间想象能力以及点线面的位置关系，线面角的一般求解方法：法一作出角直接求解，法二；利用等积转化求解15. 已知，且与夹角为钝角，则x的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由向量定义知且与不平行，列方程求解即可【详解】由题可知，即，解得且故答案为：【点睛】本题考查由向量的夹角范围求参数取值范围，属于基础题16. 在棱长为1的正
12、方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是上底面A1B1C1D1内相异两点，满足BPA1E，BQA1E.则PQ与BD的位置关系是_；|A1P|的最小值为_.【答案】 (1). 平行 (2). 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，轨迹P，Q是上底面A1B1C1D1内相异两点，设，然后根据BPA1E，BQA1E，由求解. 根据 ，利用两点间距离公式得到，利用二次函数的性质求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系：则，因为P，Q是上底面A1B1C1D1内相异两点，设，则，因为BPA1E，BQA1E，所以，即，解得， 所以，则PQ与BD的位置关系是平行，因为 ，所以，当时，即，|A1
13、P|取得最小值，最小值为.故答案为：（1）平行；（2）.【点睛】本题主要考查两直线位置关系的判断，两点间距离的最值的求法以及空间向量的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）-6（2）-4【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示，即得解；（2）利用向量加法和向量垂直的坐标表示，即得解；【详解】解：（1），.（2），.【点睛】本题考查了向量平行，加法，数量积的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.18. 叙述并用向量法证明线面垂直
14、的判定定理【答案】答案见解析.【解析】【分析】设，若要证明直线，就是要证明直线垂直于平面内的任意一条直线，故在平面内作任意一条直线，并在，上取非零向量，利用共面向量基本定理建立，的联系，只需证明即可.【详解】线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.问题：若，是平面内的两条相交直线，如果，求证：.证明：在平面内作任意一条直线，分别在，上取非零向量，.则，即，又因为直线，相交，所以向量，不共线，所以由向量共面的充要条件可知，存在惟一一组有序实数对，使， 故，所以，根据线面垂直定义可知，.【点睛】本题考查学生对于线面垂直的判定定理的理解及证明，考查共面
15、向量基本定理在证明中的运用.19. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD AB/CD，ABAD2，CD4，M为CE的中点.（1）求证：BM/平面ADEF；（2）求证：BC平面BDE.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）以D为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，然后可得，即可证明；（2）利用向量证明BCDB，BCDE即可.【详解】平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，ADED，ED平面ADEF，ED平面ABCD.以D为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系则D
16、(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)，F(2，0，2)（1）M为EC的中点，M(0，2，1)则(2，0，1)，(2，0，0)，(0，0，2)，故共面又平面ADEF，平面ADEF（2）(2，2，0)，(2，2，0)，(0，0，2)，440，BCDB.又0，BCDE.又DEDBD，DB，DE平面BDE，BC平面BDE.【点睛】本题考查的是空间中平行与垂直的证明，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.20. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，为的中点.在侧面内找一点，使平面，并求出到平面PAC的距离.【答案】【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴
17、，为轴，建立空间直角坐标系，根据向量关系求出的坐标，即可由求出距离.【详解】在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，为的中点.以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，1，0，1，设在侧面内找一点，0，使平面，则，0，解得，0，设到平面PAC的距离为，则.【点睛】本题靠查向量法解决立体几何问题，属于中档题.21. 如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，.(1)求直线与平面的夹角；(2)求点到平面的距离.【答案】(1) . (2) 【解析】【分析】设,以点为坐标原点，以为轴， 为轴，过点且平行于的方向为轴正方向，建立空间坐标系， （1）由题意，求出直线的方向向量，平面的一个法向量，由向
18、量夹角，即可得到直线与平面夹角；（2）先求出平面的一个法向量，由点到平面的距离，即可求出结果.【详解】设，因为菱形和矩形所在的平面互相垂直，所以易得平面；以点为坐标原点，以为轴， 为轴，过点且平行于的方向为轴正方向，建立空间坐标系，（1）由已知得：,因为轴垂直于平面，因此可令平面的一个法向量为，又,设直线与平面的夹角为，则有,即，所以直线BF与平面ABCD的夹角为.（2）因,设平面的法向量为，令得，又因为,所以点到平面的距离.【点睛】本题主要考查求直线与平面所成的角，以及点到平面的距离问题，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.22. 如图所示，已知四棱锥，侧面是边长为的正三角形，且平
19、面平面，底面是菱形，且，为棱上的动点，且=(). （1）求证:；（2）试确定的值，使得平面与平面夹角的余弦值为.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，证明平面，得当，再根据/，则可证明；（2）易证，两两垂直，然后以为原点，分别以，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，标出各点坐标，设，计算平面的法向量，用含的式子表示即可，可得平面的法向量为，使，然后求解的值.【详解】（1）取的中点，连接，由题意可得，均为正三角形，所以，.又，所以平面.又平面，所以.因为/，所以.（2）由（1）可知，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.故可得，两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以.由 ()，可得点的坐标为，所以，.设平面的法向量为，由可得令，则.又平面一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，解得或(舍去).所以当时，平面与平面夹角的余弦值为.【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，考查根据面面夹角的余弦值求参数的取值，难度较大. 解答时要合理设元，表示平面的法向量是关键.
