1、课时规范练60古典概型与几何概型基础巩固组1.(2020广东佛山综合能力测试)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,它历史悠久,风格独特,深受人们喜爱.下图即是一副窗花,是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分,然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形.若在这个窗花内部随机取一个点,则该点不落在任何一个小正方形内的概率是()A.37B.47C.57D.672.(2020四川巴中高三模拟)2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(素数即质数)猜想的一个弱化形式.素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样
2、描述:存在无穷个素数p,使得p+2是素数,素数对(p,p+2)称为孪生素数.则从不超过15的素数中任取两个素数,这两个素数组成孪生素数对的概率为()A.115B.215C.15D.4153.九章算术勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈,葭生其中,出水两尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭各几何?”,其意思是:有一个直径为一丈的圆柱形水池,池中心生有一颗类似芦苇的植物,露出水面两尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐,问水有多深,该植物有多高?其中一丈等于十尺,如图,若从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为()A.1213B.1314C.2129D.14154.(2020宁夏吴忠高三模拟)孙子算
3、经是中国古代重要的数学著作.其中的一道题“今有木,方三尺,高三尺,欲方五寸作枕一枚.问:得几何?”意思是:“有一块棱长为3尺的正方体木料,要把它做成边长为5寸的正方体枕头,可作多少个?”现有这样的一个正方体木料,其表面均已涂上油漆,则从切割后的正方体枕头中任取一块,恰有一面涂上油漆的概率为()A.125216B.827C.49D.145.(2018全国1,理10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.ABC的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为.在整个图形中随机取一点,此点取自,的概率分
4、别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p36.算盘是中国传统的计算工具,其形长方,周为木框,内贯直柱,俗称“档”,档中横以梁,梁上两珠,每珠作数五,梁下五珠,每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠,梁下部分叫下珠.例如:在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠,个位档拨上一颗上珠,则表示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠,再在这4个档中随机选择两个档位各拨一颗下珠,则所拨数字大于200的概率为()A.38B.12C.23D.347.已知圆柱OO的底面半径为1,高为6,若区域M表示圆柱OO及其内部,区域N表示圆柱OO内到下底面的距离大于1的点
5、组成的集合,若向区域M中随机投一点,则所投的点落入区域N中的概率为()A.13B.23C.56D.168.在区间-,上随机取两个实数a,b,记向量OA=(a,4b),OB=(4a,b),则OAOB42的概率为()A.1-8B.1-4C.1-2D.1-349.(2020重庆八中月考)如图,茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分(均为整数),其中一个数字模糊不清,则甲的平均得分高于乙的平均得分的概率为.10.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.若指针恰好停在各区域的分界线上,则这次转动
6、作废,重新转动转盘.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:若xy3,则奖励玩具一个;若xy8,则奖励水杯一个;其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.综合提升组11.(2020湖南常德高三一模)河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案,与自己的观察,画出的“八卦”,而龙马身上的图案就叫作“河图”.把一到十分成五组,如图,其口诀:一六共宗,为水居北;二七同道,为火居南;三八为朋,为木居东;四九为友,为金居西;五十同途,为土居中.“河图”将一到十分成五
7、行属性分别为金,木,水,火,土的五组,在五行的五种属性中,五行相克的规律为:金克木,木克土,土克水,水克火,火克金;五行相生的规律为:木生火,火生土,土生金,金生水,水生木.现从这十个数中随机抽取3个数,在这3个数字的属性互不相克的条件下,取到属性为土的数字的概率为()A.110B.15C.25D.1212.(2020河北衡水高三质检)圆周率是圆的周长与直径的比值,一般用希腊字母表示.我们也可以通过如下随机模拟试验来估计的值:在区间(0,1)内随机取2m个数,构成m个数对(x,y),设x,y能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)有n对,则通过随机模拟的方法得到的的近似值为()A.m+2nmB
8、.m+2nnC.2m+4nmD.m+2n2n13.已知O,A,B三地在同一水平面内,A地在O地正东方向2 km处,B地在O地正北方向2 km处,某测绘队员在A,B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点,用测绘仪进行测绘,O地为一磁场,距离其不超过3 km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰,使测量结果不准确,则该测绘队员能够得到准确数据的概率是()A.1-22B.22C.1-32D.1214.已知数列an满足a1=2,an+1=-2an(nN+).若从数列an的前10项中随机抽取一项,则该项不小于8的概率是.15.已知某几何体的三视图如图所示,则在该几何体内随机取一点,则此点到线段AB的中点的距
9、离不大于1的概率是.16.记m表示不超过m的最大整数.若在x18,12上随机取1个实数,则使得log2x为偶数的概率为.创新应用组17.(2020江西宜春高三检测)生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人,这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系,具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化,某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座,每艺安排一节,连排六节,则满足“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为()A.710B.760C.2760D.476018.已知实数a,b满足0a1,-1b1,则函数y=13ax3+ax2+b有三个零点的概率为.
10、参考答案课时规范练60古典概型与几何概型1.D窗花的面积为122-41=140,其中小正方形的面积为5412=20,所以所求概率140-20140=67.2.C不超过15的素数有2,3,5,7,11,13,共6个,则从不超过15的素数中任取两个素数共有C62=15种取法,根据孪生素数的定义,由不超过15的素数组成的孪生素数为(3,5),(5,7),(11,13),共有3对,则所求概率为315=15.3.C由题意知BC=2,BC=5,设AC=x,则AB=AB=x+2,在RtACB中,列勾股方程得52+x2=(x+2)2,解得x=214,所以从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为P=xx+2=
11、214214+2=2129,故选C.4.C有一块棱长为3尺的正方体木料,要把它做成边长为5寸的正方体枕头,可作216个,由正方体的结构及锯木块的方法,可知一面带有油漆的木块是每个面的中间那16块,共有616=96(块),所以从切割后的正方体枕头中任取一块,恰有一面涂上油漆的概率为96216=49.5.A设AB=b,AC=a,BC=c,则a2+b2=c2.所以以BC为直径的圆面积为c22,以AB为直径的圆面积为b22,以AC为直径的圆面积为a22.所以S=12ab,S=12b24+12a24-12c24-12ab=12(b2+a2-c2)4+12ab=12ab,S=12c24-12ab,所以S=
12、S,由几何概型,知p1=p2.故选A.6.D依题意得所拨数字共有C41C42=24种可能.要使所拨数字大于200,则:若上珠拨的是千位档或百位档,则所拨数字一定大于200,有C21C42=12种;若上珠拨的是个位档或十位档,则下珠一定要拨千位,再从个、十、百里选一个下珠,有C21C31=6种.则所拨数字大于200的概率为12+624=34.7.C由题意,易知圆柱OO的体积为V=126=6.因为区域N表示圆柱OO内到下底面的距离大于1的点组成的集合,所以区域N表示圆柱OO内的一个小圆柱(与圆柱OO共上底面),且小圆柱的体积为V1=12(6-1)=5.根据几何概型,得所投入的点落在区域N中的概率为
13、P=V1V=56=56,故选C.8.B在区间-,上随机取两个实数a,b,则点(a,b)在以2为边长的正方形内,因为OA=(a,4b),OB=(4a,b),则OAOB=4a2+4b2.因为OAOB42,所以a2+b22,点(a,b)在以原点为圆心,以为半径的圆外,且在以2为边长的正方形内,所以OAOB42的概率为P=42-342=1-4,故选B.9.15由茎叶图可得甲的5场得分分别为18,19,20,21,22,则甲的平均得分为15(18+19+20+21+22)=20,设污损数字为x,则乙的5场得分分别为15,16,18,28,(20+x),则乙的平均成绩为15(15+16+18+28+20+
14、x)=19.4+x5,0x9,xZ,当x=1或x=2时,甲的平均得分高于乙的平均得分,甲的平均得分高于乙的平均得分的概率为210=15.10.解(1)用数对(x,y)表示小亮参加活动先后记录的数,则基本事件构成的集合是S=(x,y)|xN,yN,1x4,1y4.因为S中元素的个数是44=16,所以基本事件总数n=16.记“xy3”为事件A,则事件A包含的基本事件共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),所以P(A)=516,即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy8”为事件B,“3xy516,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.11.C由题意得数字4,9属
15、性为金,3,8属性为木,1,6属性为水,2,7属性为火,5,10属性为土,从这十个数中随机抽取3个数,这3个数字的属性互不相克,包含的基本事件个数n=C51(C21C22+C22C21)=20,在这3个数字的属性互不相克的条件下,取到属性为土的数字包含的基本事件个数为m=C21(C21C22+C22C21)=8,这3个数字的属性互不相克的条件下,取到属性为土的数字的概率mn=820=25.12.C依题有0x1,0y1,试验的全部结果构成以1为边长的正方形,其面积为1.因为x,y能与1构成钝角三角形,由余弦定理及三角形知识得x2+y21,构成如图阴影部分,其面积为4-12,由几何概型概率计算公式
16、得nm=4-121,解得=2m+4nm.13.A由题意,AOB是直角三角形,OA=OB=2,所以AB=22,O地为一磁场,距离其不超过3km的范围为14个圆,与AB相交于C,D两点,作OEAB,则OE=2,所以CD=2,所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1-CDAB=1-222=1-22.故选A.14.25由题意可知an=2(-2)n-1,故前10项中,不小于8的只有8,32,128,512,共4项,故所求概率是410=25.15.13根据几何体的三视图可知,该几何体是底面半径为1,高为2的圆柱,其体积为2,线段AB是底面的直径,线段AB的中点是底面圆的圆心,几何体内到线段AB的中点的距离
17、不大于1的点构成了以底面圆心为球心,半径为1的半球,其体积为124313=23,所以所求的概率是232=13.16.23若x18,12,则log2x(-3,-1).要使得log2x为偶数,则log2x-2,-1).所以x14,12,故所求概率P=12-1412-18=23.17.B由题意知基本事件总数n=A66=720,“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须相邻可以分两类安排:“数”排在第一位,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,则礼、乐相邻的位置有4个,考虑两者的顺序,有2种情况,剩下的3个全排列,安排在其他三个位置,有A33=6种情况,故有426=48种情况;“数”排第二位,“礼”和“乐”两
18、门课程相邻排课,则礼,乐相邻的位置有3个,考虑两者的顺序,有2种情况,剩下的3个全排列,安排在其他三个位置,有A33=6种情况,则有326=36种情况,由分类加法原理知满足“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须相邻安排共有48+36=84种情况,所以满足“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为84720=760.18.516对y=13ax3+ax2+b求导可得y=ax2+2ax,0a0,b0,b0.画出可行域如图,满足函数y=13ax3+ax2+b有三个零点,如图深色区域,实数a,b满足0a1,-1b1,为长方形区域,所以长方形的面积为2,深色区域的面积为121+14=58,所以所求概率为P=582=516,故答案为516.