1、第二部分 讲练篇 专题四 立体几何第1讲 空间几何体的表面积、体积及有关量的计算自 主 练 考 点 整 合 做小题激活思维1已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A1 cm B2 cmC3 cmD32 cmB S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2(cm)2某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.132 B.136C.73D.52B 由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为1221213121136.3已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_92 设正方体的棱长为
2、a，则6a218，a 3.设球的半径为R，则由题意知2R a2a2a23，R32.故球的体积V43R34332392.4.如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各条棱长均为 2，D 为棱 B1C1上任意一点，则三棱锥 D-A1BC 的体积是_2 33 VD-A1BCVB1-A1BCVA1-B1BC13SB1BC 32 33.5一题多解(2019全国卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2是一个棱数为48的半
3、正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_图1 图226 21 先求面数有如下两种方法 法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有29826(个)面 法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V)面数(F)棱数(E)2.(欧拉公式)由题图知，棱数为 48 的半正多面体的顶点数为 24.故由 VFE2，得面数 F2EV2482426.再求棱长作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为 1 的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为 x，则正八边形的边长即
4、为半正多面体的棱长 连接AF，过H，G分别作HMAF，GNAF，垂足分别为M，N，则 AMMHNGNF 22 x.又AMMNNF1，22 xx 22 x1.x 21，即半正多面体的棱长为 21.扣要点查缺补漏1空间几何体分为多面体和旋转体研究其特性常采用化空间为平面的方法，如截面图、轴截面等，如T5.2旋转体的表面积和体积公式(1)S圆柱侧2rl，S圆锥侧rl，S圆台侧(r1r2)l，S球4R2，V柱sh，V锥13sh，V球43R3，如T1.(2)球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离d与球的半径R及截面圆半径r之间的关系是rR2d2.3空间几何体的体积与表面积求法(
5、1)割补法：求不规则几何体的体积或表面积时，通过割补，转化成规则几何体求解如T2.(2)等积变换：涉及三棱锥的体积，注意灵活选择底面和对应的高如T4.4多面体与球(1)当球内切于正方体时，球的直径等于正方体的棱长，当球外接于长方体时，长方体的体对角线长等于球的直径；当球与正方体各棱都相切时，球的直径等于正方体底面的对角线长如T3.(2)若正四面体的棱长为a，则正四面体的外接球半径为64 a，内切球半径为 612a.研 考 题 举 题 固 法 空间几何体的三视图、展开图、截面图(5 年 3 考)高考解读 高考对该点的考查先前以三视图的识别为主，近几年有向侧面展开图、截面图形的性质等方向考查的趋势
6、，总体思路是多考查一点空间想象能力.1(2018全国卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A2 17 B2 5C3D2切入点：先由三视图还原直观图，再把直观图展成平面图 B 由三视图可知，该几何体为如图1所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图2所示，连接MN，则MS2，SN4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为MS2SN2 22422 5.故选B.图1 图22(2018全国卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与
7、平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为()A.3 34B.2 33C.3 24D.32切入点：将每条棱所在直线与平面所成的角相等转化为共顶点的三条棱所在直线与平面所成角相等 A 记该正方体为 ABCD-ABCD，正方体的每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，即共点的三条棱 AA，AB，AD与平面 所成的角都相等如图，连接 AB，AD，BD，因为三棱锥 A-ABD是正三棱锥，所以 AA，AB，AD与平面 ABD所成的角都相等分别取 CD，BC，BB，AB，AD，DD的中点 E，F，G，H，I，J，连接 EF，FG，GH，IH，IJ，JE，易得 E，F，G，H，I，J 六点共面，平
8、面 EFGHIJ 与平面 ABD平行，且截正方体所得截面的面积最大又 EFFGGHIHIJJE22，所以该正六边形的面积为 6 34 2223 34，所以 截此正方体所得截面面积的最大值为3 34，故选 A.立体几何中的“截、展”(1)“截”，指的是截面，如柱、锥、台的直截面、斜截面以及旋转体的轴截面，它们集中反映了几何体的主要元素的数量关系，能够列出有关量的关系(2)“展”，指的是侧面展开图，在有关沿表面的最短路径问题中，就是求侧面或某些面展开图上两点间的距离，即将空间问题转化为平面问题一般多面体常以棱所在的直线为剪开线展开，旋转体以母线为剪开线展开1(三视图的识别)榫卯，是古代中国建筑、家
9、具及其他器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式凸出部分叫榫(或叫榫头)；凹进部分叫卯(或叫榫眼、榫槽)其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧若如图3摆放的木构件是由带榫、卯的木构件咬合成的，则图中带卯的木构件的俯视图可以是()A B C DB 根据题意，因为有凹进部分的木构件叫卯，所以带卯的木构件是题图2.则该带卯的木构件的俯视图即为选项B中的图示故选B.2.(侧面展开图)如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为 4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点 P 处若该小 虫 爬 行 的 最 短 路
10、 程 为 43 m，则 圆 锥 底 面 圆 的 半 径 等 于_m.43 把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，由题意OP4，PP4 3，则cosPOP42424 32244 12，所以POP23.设底面圆的半径为r，则2r23 4，所以r43.3(截面的计算问题)已知圆锥的底面直径为3，母线长为1，过圆锥的顶点，作圆锥的截面，则截面面积的最大值为_12 由于圆锥的底面直径为 3，母线长为1，设圆锥轴截面的顶角为，则cos 11321112.又(0，)，23.因等截面面积的最大值为 12 11sin212.几何体的表面积和体积(5年9考)高考解读 高考对该点的考查主要有两种，一是以三视
11、图为载体考查简单几何体或组合体的表面积或体积；二是利用空间几何体的几何特征及体面积求其它几何量.1一题多解(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90 B63C42D36B 法一：(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示 将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V3243261263.故选B.法二：(估值法)由题意知，12V圆柱V几何体V圆柱又V圆柱3
12、21090，45V几何体90.观察选项可知只有63符合故选B.2(2012山东高考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为_切入点：利用等体积法，即 VF-DED1VD1-EDF可求16 三棱锥 D1-EDF 的体积即为三棱锥 F-DD1E 的体积因为 E，F 分别为 AA1，B1C 上的点，所以在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中EDD1的面积为定值12，F 到平面 AA1D1D 的距离为定值 1，所以 VF-DD1E1312116.3重视题(2019全国卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图，该
13、模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.118.8 由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm和4 cm，故V挖去的四棱锥131246312(cm3)又V长方体664144(cm3)，所以模型的体积为 V长方体V挖去的四棱锥14412132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为1320.9118.8(g)空间几何体的表面积与体积的求法(1)求三棱锥的体积时，等体
14、积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上如真题2.(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解如真题1.(3)已知几何体的三视图，可去判断几何体的形状和各个度量，然后求解表面积和体积1(组合体的表面积)如图 1 所示，已知正方体面对角线长为 a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图 2 所示的几何体，那么此几何体的表面积为()图 1 图 2A(12 2)a2B(2 2)a2C(32 2)a2D(4 2)a2B 拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面由于截面为矩形，长为a，宽为22 a，所以面积为2
15、2 a2，所以拼成的几何体表面积为422 a2222 a2(22)a2，故选B.2(等体积法的应用)(2019潍坊模拟)若正三棱锥A-BCD中，ABAC，且BC1，则三棱锥A-BCD的高为()A.66B.33C.22D.63A 设三棱锥A-BCD的高为h.依题意得AB，AC，AD两两垂直，且ABACAD 22 BC 22，BCD的面积为 34 12 34.由VA-BCDVB-ACD得13SBCDh13SACDAB，即13 34 h1312222 22，解得h 66，即三棱锥A-BCD的高h 66.3(数学文化题)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用
16、石头或木头制成一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为()A63B72C79D99A 由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为5，底面圆的半径为3，半球的半径为3，所以组合体的体积为32512433363.故选A.球与几何体的切接问题(5年6考)高考解读 高考对该点的考查要求较高，注重了对空间想象力和化归转化能力的考查，平时训练应强化柱、锥与球切接关系的各种组合训练，进一步提升直观想象及数学运算素养.1(2019全国卷)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF90，则
17、球O的体积为()A8 6 B4 6 C2 6 D.6D 因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EFPB，因为CEF90，所以EFCE，所以PBCE.取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC平面BDP，所以PBAC，又ACCEC，AC，CE平面PAC，所以PB平面PAC，所以PBPA，PBPC，因为PAPBPC，ABC为正三角形，所以PAPC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥P-ABC放在正方体中如图所示因为AB2，所以该正方体的棱长为2，所以该正方体的体对角线长为6，所以三棱锥P-ABC的外接球的半径R62，所以球O的体积V43R343623 6，故选D.2(2016全国卷)在封闭的直三
18、棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 B.92 C6 D.323切入点：分析直三棱柱的内切球最大时与哪些面相切B 由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切设球的半径为R.因为ABC的内切圆半径为 681022，所以R2.又2R3，所以R32，所以Vmax4332392.故选B.3(2017全国卷)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为_14 长方体的顶点都在球O的球面上，长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径 设球的半径为R，则2R 322212 14.球O的表面积为S4R2
19、4142214.空间几何体与球的切、接问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及切、接点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的切、接问题，再利用平面几何知识求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般采用补形的方法，补形为长方体或正方体，利用(2R)2a2b2c2求解1(三棱锥的外接球)三棱锥P-ABC中，ABC为等边三角形，PAPBPC3，PAPB，三棱锥P-ABC的外接球的体积为()A.272 B.27 32C27 3D27B 三棱锥P-ABC中，ABC为等边三角形，PAPBPC3，PABPBCPAC
20、.PAPB，PAPC，PCPB.以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC的外接球正方体的体对角线长为 3232323 3，其外接球半径R3 32.因此三棱锥P-ABC的外接球的体积V43 3 32327 32，故选B.2(直棱柱的外接球)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在以O为球心的球面上，且BAC34，AA1BC2，则球O的体积为()A4 3B8C12D20A 在底面ABC中，由正弦定理得底面ABC所在的截面圆的半径rBC2sinBAC22sin 34 2.所以直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半径 Rr2AA122
21、2212 3.故直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的体积为43R34 3.选A.3(动态最值问题)已知点A，B，C，D在同一个球的球面上，ABBC6，ABC90.若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为()A2B4C8D16D ABBC6，ABC90，SABC12 6 63，AC2 3，ABC所在球的小圆的圆心Q是斜边AC的中点，小圆的半径为 3.四面体ABCD的体积取得最大值，且SABC不变，当底面ABC上的高最大时体积最大 当DQ与平面ABC垂直时体积最大，最大值为13SABCDQ3，即133DQ3，解得DQ3，如图所示，设球心为O，半径为R，在RtAQO中，OA2OQ2AQ2，即R2(3R)2(3)2，解得R2.这个球的表面积S4R216，故选D.4(内切球)已知一个三棱锥的所有棱长均为 2，则该三棱锥的内切球的体积为_354 由题意可知，该三棱锥为正四面体，如图所示 AEABsin 60 62，AO23AE 63，DO AD2AO22 33，三棱锥的体积VD-ABC13SABCDO13，设内切球的半径为r，则 VD-ABC13r(SABCSABDSBCDSACD)13，r 36，V内切球43r3 354.Thank you for watching!
