1、河南省郑州市巩义中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第卷（选择题）一、选择题（每小题5分，共60分）1.复数满足，则复数的实部与虚部之差为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：，实部1，虚部，之差为0，选D.考点：复数点评：复数的实部，虚部，复数运算中2.由直线，曲线及轴所围图形的面积为 （ ）A. 3B. 7C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由题意画出图形，再利用定积分即可求得根据题意，由于由直线，曲线及轴所围图形的面积为，故可知结论得到的答案为C考点：
2、微积分基本定理点评: 本题主要考查定积分求面积3.的展开式中系数最大的项是（ ）A. 第3项B. 第4项C. 第5项D. 第6项【答案】C【解析】【分析】首先利用二项式展开式的通项求出项的系数，进而可确定系数的最大值.【详解】为使系数最大，必须取偶数，即，2，4，对应的系数分别为1，40，80，故时，即第5项是展开式中的系数最大的项，故选：C【点睛】本题考查了二项式定理，需熟记二项式定理展开式的通项公式，属于基础题.4.函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示则函数在内有几个极小值点（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】直接利用极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应
3、导函数值是先负后正，再结合图像即可得出结论.【详解】因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，由图得：导函数值先负后正的点只有一个，故函数在内极小值点的个数是1.故选：A【点睛】本题考查了极小值点的概念，需熟记极小值点的定义，属于基础题.5.将个不同的小球放入个盒子中，则不同放法种数有（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：采用分步计数原理来求解：分3步，每一步4种方法， 不同方法种数有种考点：分步计数原理6.直线与曲线相切，则的值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由得，令，解得，所以切点的坐标为，根据切点在切线上，有，解得，
4、故选B考点：导数的几何意义，切点在切线上7.如果的导函数的图像是开口向上，顶点坐标为的二次函数，那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出导函数的值域，利用导数的几何意义可知切线斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】因为导函数是二次函数，说明原函数为三次函数，设，可见导函数的值域即为切线的斜率的范围，故倾斜角的范围是，故选：B【点睛】本题考查了导数的几何意义、斜率与倾斜角的关系，属于基础题.8.若，则x的值分别是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由组合数公式nm+nm1Cn+1m，直接计算即可
5、【详解】解：由组合数公式nm+nm1Cn+1m得：C117+C116127，因为，所以x12故选B【点睛】本题考查组合数及组合的应用，解题的关键是熟练掌握组合数的公式，属于基础题.9.已知，由不等式；可以推广为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】观察各式，不等式左边是两项和，第一项是：，右边的数是：2，3，利用此规律观察所给不等式，都是写成的形式，从而即可求解【详解】解：认真观察各式，不等式左边是两项的和，第一项是：，右边的数是：2，3，利用此规律观察所给不等式，都是写成的形式，从而此归纳出一般性结论是：故选：B【点睛】本题考查了合情推理中的归纳推理，考查了学生的归纳推理能
6、力，属于基础题.10.利用数学归纳法证明“，”时，从”变到“”时，左边应增加的因式是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：依题意，可写出时成立的等式与时成立的等式，二者相除即可得到结论.详解：由题意“”时，左边为，“”时，左边为，从而可得增加两项为，且减少项为，故选D.点睛：本题考查数学归纳法，理清从“”变到“”时左边项数的变化是关键，属于中档题. 项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.11.设 ，则多项式 的常数项（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分
7、析】利用微积分基本定理化简可知，再求出通项公式，令 ，解得，即可求出答案【详解】，则多项式的通项为令，解得，常数项为，故选D.【点睛】本题考查二项式系数的性质，涉及定积分的计算，注意解题方法的积累，属于中档题12.某校高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班，且每班安排2名，不同的安排方案种数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分两步：先选定两个班，方法有，再把4名学生均匀分配到这两个班有【详解】先选定两个班，方法有，再把4名学生均匀分配到这两个班有，共有：故选：A【点睛】本题考查了组合的简单应用问题以及分步计数原理，属于基础题.第卷（非选择题）二
8、、填空题（每小题5分，共20分）13.若，则_【答案】【解析】【分析】利用导数定义得到，将所求配成的形式，由此求得极限的值.【详解】由题设条件，根据导数的定义，知，所以【点睛】本小题考查导数的定义的理解.，这是定义本身，还可以变为.，这两个值的结果都是函数在处导数的值.14.若，且，（为虚数单位），则_【答案】【解析】【分析】利用复数的四则运算即可求解.【详解】根据题意，由于，且，（为虚数单位），则，故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的运算，属于基础题.15.函数的减区间是_【答案】【解析】【分析】首先利用复合函数的导数求法求出导函数，令，解不等式，结合函数的定义域即可求解.【详解】，.的减
9、区间是.故答案为：【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的应用，注意求单调区间需在函数的定义域内求解，属于基础题.16.某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一则不同安排方法的种数是_【答案】36【解析】【分析】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有种，把“民俗调查”安排在周一，有，作差即可求解【详解】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有种，把“民俗调查”安排
10、在周一，有，满足条件的不同安排方法的种数为，故答案为：36【点睛】本题考查了简单排列应用问题，熟练掌握排列组合的意义及其计算公式是解题的关键，对于相邻问题经常使用“捆绑法”，注意“直接法”“间接法”的灵活选用，属于基础题.三、解答题（17题10分，其他每题12分，共70分）17.已知复数，（，是虚数单位）.（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值.【答案】（1）； （2）13.【解析】【分析】（1）由复数在复平面上对应点落在的象限列不等式求解即可；（2）由虚数是实系数一元二次方程的根，则也是实系数一元二次方程的根，再结合根与系数
11、的关系求解即可.【详解】解：（1）由条件得，因为在复平面上对应点落在第一象限，故有，即，即，解得.（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以也是实系数一元二次方程的根，所以，即，把代入，则，所以.【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了根与系数的关系，属基础题.18.在的展开式中，求：（1）第5项的二项式系数;（2）第5项的系数;（3）倒数第3项;（4）含的项【答案】（1）70（2）1120（3）（4）【解析】【分析】（1）根据二项式展开式通项公式得第5项的二项式系数（2）根据二项式展开式通项公式得第5项的系数（3）根据二项式展开式通项公式得倒数第3项;（4）根据二项式展开式通项公式确定含的
12、项数，再得结果【详解】解（1）第5项的二项式系数为，（2）第5项的系数为，（3）倒数第3项即为第7项，（4）【点睛】本题考查二项式展开式通项公式应用，考查基本分析求解能力，属基础题.19.已知函数，其中(1)若是函数的极值点，求实数的值；(2)若对任意的（为自然对数底数）都有成立，求实数的取值范围【答案】(1)(2)【解析】试题分析：本题主要考查利用导数求函数的极值、单调区间、最值等基础知识及分类讨论思想，也考查了学生分析问题解决问题的能力及计算能力.第一问先对函数进行求导，再把极值点代入导函数求得实数a的值；第二问对任意的x1，x21，e都有f(x1)g(x2)成立等价于对任意的x1，x21
13、，e，都有f(x)ming(x)max，利用导数分别判断函数f (x)、g(x)的单调性并求其在定义域范围内的最值，判断单调性时可对实数a进行分类讨论，则可求得实数a的取值范围试题解析：(1)h(x)2xln x，其定义域为(0，)，h(x)2，x1是函数h(x)的极值点，h(1)0，即3a20.a0，a.经检验当a时，x1是函数h(x)的极值点，a.(2)对任意的x1，x21，e都有f(x1)g(x2)成立等价于对任意的x1，x21，e，都有f(x)ming(x)max.当x1，e时，g(x)10.函数g(x)xln x在1，e上是增函数，g(x)maxg(e)e1.f(x)1，且x1，e，
14、a0.当0a1且x1，e时，f(x)0，函数f(x)x在1，e上是增函数，f(x)minf(1)1a2.由1a2e1，得a，又0a1，a不合题意当1ae时，若1xa，则f(x)0，若axe，则f(x)0.函数f(x)x在1，a)上是减函数，在(a，e上是增函数f(x)minf(a)2a.由2ae1，得a. 又1ae，ae.当ae且x1，e时f(x)0，函数f(x)x在1，e上是减函数f(x)minf(e)e.由ee1，得a，又ae，ae.综上所述，a的取值范围为，)考点：1.利用导数求函数的极值、单调区间、最值；2.分类讨论思想.20.已知，求证：.【答案】见解析【解析】【分析】由利用基本不等
15、式求得，再将所证的式子利用基本不等式转化成证明，即可证明原不等式成立.【详解】，.成立，故原不等式成立.【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式问题，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意基本不等式的连续使用.21.对于函数（1）确定的单调区间；（2）求实数，使是奇函数，在此基础上，求的值域【答案】（1）的递增区间是（2），的值域是【解析】【分析】（1）先求函数的导数，再利用导数的符号求函数的单调区间；（2）首先利用奇函数的定义得求出实数的值，再利用定义法求函数的值域【详解】解：（1）因为函数，所以因为，所以，所以函数在区间上单调递增；（2）因为函数是奇函数，所以，所以
16、，由此得：，为奇函数，因为，所以，所以，所以，所以即函数的值域为【点睛】本题主要考查了导数在研究函数性质中应用、根据函数的奇偶性求参数值、求函数的值域，属于中档题.22.当时，（）求，；（）猜想与的关系，并用数学归纳法证明.【答案】解：（I）， ，（II）猜想：,证明见解析【解析】试题分析：（）令中的，即可求出，令，即可求出，同理，令中的，即可求出，令，即可求出；（）根据第（）问中求得的，猜想可得：，用数学归纳法证明，首先证当时命题成立，然后假设当时命题成立，即下面证明当时，命题也成立，必须要用到上面的假设，从出发开始进行证明，得到，经过合并整理，可以得到，由以上可知，命题对一切正整数都成立，所以猜想成立，问题得证本题主要考查数学归纳法证明的步骤及格式要求试题解析：（），（）猜想：即：（）4分下面用数学归纳法证明时，已证假设时，即：则由，可知，对任意，都成立考点：数学归纳法