1、2020-2021学年上学期宣化一中高三年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 数列1，的一个通项公式A. B. C. D. 2. 设集合，则A. B. C. D. 3. 已知向量，若向量与垂直，则A. 9B. 3C. D. 4. 若，则其大小关系是A. B. C. D. 5. 已知等比数列中，若，则的值为A. B. 1C. 2D. 36. 如图，点A为单位圆上一点，点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点，则A. B. C. D. 7. 函数的图象大致是 A. B. C. D. 8. 已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若函数的图象上各点的纵坐标不变，先将其上
2、各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位得到函数的图象，则函数A. B. C. D. 9. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，已知的面积，则a的值为A. B. C. D. 10. 关于数列，给出下列命题：数列满足，则数列为公比为2的等比数列；“a，b的等比中项为G”是“”的充分不必要条件：数列是公比为q的等比数列，则其前n项和；等比数列的前n项和为，则，成等比数列，其中，假命题的序号是A. B. C. D. 11. 已知函数，若函数为常数有三个零点，则实数t的取值范围为A. B. C. D. 12. 定义域为的函数图象的两个端点为A、B，向量，是图象上任意一点，其中，若不等
3、式恒成立，则称函数在上满足“k范围线性近似”，其中最小正实数k称为该函数的线性近似阈值若函数定义在上，则该函数的线性近似阈值是A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 己知函数若，则实数a的值是_14. 已知，且，则当取得最小值时相应的_15. 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足且，则不等式为自然对数的底数的解集是_16. 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b是a与c的等比中项，且sinA是与sinC的等差中项，则_，_三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知集合，集合若命题p：，命题q：，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值
4、范围18. 在中，角所对的边分别为，满足求的值；若，求b的取值范围19. 已知函数求的最小正周期；求在区间上对称轴、对称中心及其最值20. 新能源汽车是我国汽车工业由大变强的一条必经之路国家对其给予政策上的扶持，己成为我国的战略方针近年来，我国新能源汽车制造蓬勃发展，某著名车企自主创新，研发了一款新能源汽车，经过大数据分析获得：在某种路面上，该品牌汽车的刹车距离米与其车速千米小时满足下列关系：n是常数行驶中的新能源汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离如图是根据多次对该新能源汽车的实验数据绘制的刹车距离米与该车的车速千米小时的关系图该新能源汽车销售公司为
5、满足市场需求，国庆期间在甲、乙两地同时展销该品牌的新能源汽车，在甲地的销售利润单位：万元为，在乙地的销售利润单位：万元为，其中x为销售量单位：辆若该公司在两地共销售20辆该品牌的新能源汽车，则能获得的最大利润L是多少？如果要求刹车距离不超过米，求该品牌新能源汽车行驶的最大速度21. 已知等比数列的前n项和为，且求数列的通项公式；若数列为递增数列，数列满足，求数列的前n项和在条件下，若不等式对任意正整数n都成立，求的取值范围22. 已知函数为自然对数的底数求函数的极值；问：是否存在实数a，使得有两个相异零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由2020-2021学年上学期宣化一中高三年
6、级期中考试数学试卷答案和解析1.【答案】C【解析】解：依题意，数列的符号正负项间隔出现，故符号为，各项的绝对值为为，故数列的一个通项公式为，故选：C根据给出的项的符号和数值分别归纳，即可得到其通项公式本题考查了通过数列的前几项归纳数列的通项公式，主要考查了归纳能力和推理能力，属于基础题2.【答案】D【解析】解：集合，故选：D分别求出集合A，B，由此能求出本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3.【答案】C【解析】解：，且，解得，故选：C可以求出，根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出t，进而求出向量的坐标，从而可求出的值本题考查了向量减法和数量积的坐标
7、运算，向量垂直的充要条件，根据向量坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题4.【答案】A【解析】解：，故选：A利用指数函数、对数函数的单调性直接求解本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5.【答案】D【解析】解：等比数列中，解得，则故选：D利用等比数列通项公式求出，由此能求出，由此能求出结果本题考查等比数列的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正弦公式的应用，属于基础题利用任意角的三角函数的定义求得A的坐标，根据B的坐标求得和的值
8、，再利用两角差的正弦公式求得的值【解答】解：点A为单位圆上一点，点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点，sin，即，且，则，故选：C7.【答案】A【解析】解：，是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D；当时，当时，当时，故选：A根据的对称性，函数值的符号进行判断本题考查了函数图象判断，属于中档题8.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，三角函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式，变形成正弦型函数，进一步利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果【解答】
9、解：函数，由于函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，故，所以，整理得先将其上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到，再向左平移个单位，得到故选：B9.【答案】B【解析】解：，由正弦定理可得，即，解得：，的面积，解得故选：B由正弦定理化简已知，结合，可求，利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用三角形的面积公式即可解得a的值本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题10.【答案】D【解析】解：时，符合，但不是等比数列，错误；若a，b的等比中项为G，则；若，当时，G不是a，b的等比中项，正确；当时，上述公式没意义，应
10、为，错误；当公比为时，不能构成等比数列的项，错误故选：D根据等比数列的定义可以判断；由等比中项的定义和性质即可；根据等比数列的前n项和公式，当时不能表示为上述公式；当公比为时，不能构成等比数列的项，即可判断本题主要考察等比数列的定义及基本性质，各个选项都是易错点，要熟练掌握11.【答案】A【解析】解：为常数有三个零点，转化为和图象有三个交点，时，在递减，在递增；，画出图象如图：由图可知：故选：A本题将为常数有三个零点转化为和图象有三个交点，画出的图象求解本题考查了分段函数的图象，以及数形结合思想属于基础题12.【答案】B【解析】解：由已知可得：，AB直线方程为，由向量，因为，则点N，A，B三点
11、共线，即，又是图象上任意一点，其中，则，则，当时，易得，则，即k的最小值为，则该函数的线性近似阈值是，故选：B先阅读理解定义，再利用重要不等式求最值即可得解本题考查了对即时定义的理解及重要不等式，属中档题13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了利用分段函数的函数值的求解，属于基础试题先求解，然后再求解即可去求解【解答】解：，则，故答案为14.【答案】【解析】解：已知，且，则，当且仅当时，成立，故答案为：利用，把化为，再利用基本不等式即可考查了基本不等式的用法，关键是构造一正二定三相等的模型，中档题15.【答案】【解析】解：不等式变形为：，令，为增函数，又，不等式解集为故答案为：不等式变形为
12、：，构造函数令，结合题意得函数的增减性，及，进而解出不等式本题考查结合条件构造函数得到增减性，进而解出不等式，属于中档题16.【答案】【解析】解：若b是a与c的等比中项，则由于sinA是与sinC的等差中项，所以，整理得，利用正弦定理和余弦定理整理得，整理得，所以为直角三角形所以，所以，解得或负值舍去即故答案为：；直接利用等差中项和等比中项的应用和正弦定理余弦定理的应用即一元二次方程的解法的应用求出结果本题考查的知识要点：等差中项和等比中项的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型17.【答案】解：由题意，得由集合A得，因为，所以，
13、当时，由得以，所以，使，则有或，解得；当时，由式，得，所以，使，只需，解得综上，所求实数a范围是【解析】根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系，然后建立不等式关系进行求解即可本题主要考查充分条件和必要条件的定义域，结合充分条件和必要条件的定义与集合关系进行转化是解决本题的关键注意要对a进行分类讨论18.【答案】解：，可得：，且，解得：由可求，又，可得：，由余弦定理可得：，解得：【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合，可求，利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值由可求，又由，利用余弦定理可得，结合范围，利用二次函数的性质可求b的范围本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，
14、余弦定理，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了函数思想的应用，属于中档题19.【答案】解：因为，所以，函数的最小正周期为由知，因为，所以，令，得，所以，即为所求函数在上的对称轴；令，得，所以，所以函数在上的对称中心为；易判断函数在上单调递增；在上单调递增所以，故函数在区间上最大值为，最小值为【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期利用函数的关系式的应用求出结果本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题20.【答案】解：设公司
15、在甲地销售该新能源品牌的汽车x辆，则在乙地销售该品牌的汽车辆，且依题意，可得利润因为，且，所以，当或时，即当甲地销售该新能源品牌的汽车10辆或11辆时，公司获得的总利润最大值为51万元由题设条件，得，解得：，所以令，即，解得因为，所以故该新能源汽车行驶的最大速度是70千米小时【解析】设在甲地销售x辆，得出总利润关于x的函数，利用二次函数的性质求出最大值即可；利用待定系数法求出y关于x的函数，再根据刹车距离列出不等式求出x的服务本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题21.【答案】解：等比数列的公比设为q，前n项和为，且，可得，解得或，则；或；数列为递增数列，可得，数列满足，即为，
16、前n项和，相减可得，化为；不等式对任意正整数n都成立，即为，即恒成立，可令为正奇数，可得，由，当时，时，时，可得，即时，取得最大值，则【解析】设公比为q，由等比数列的通项公式，解方程可得q，进而得到所求通项公式；由题意可得，由数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和；由题意可得恒成立，可令为正奇数，转化为t的函数，求得最大值即可本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及不等式恒成立问题解法，化简整理的运算能力，属于中档题22.【答案】解：因为，所以时，所时，所以在R上单调递减，此时，函数无极值时，令，得，时，所以在上单调递减；时，所以在上单调递增
17、此时，函数有极小值，无极大值假设存在实数a，使函数有两个相异零点由知：时，函数在R上单调递减；，所以此时函数仅有一个零点；时，因为，则由可得；取，令，可得，所以在单调递减，所以，而此时，函数在上也有一个零点所以，当时，函数有两个相异零点当时，所以，此时函数仅有一个零点，当时，因，则由；令函数，所以，因为，所以在递增，所以，所以，即又，所以函数在上也有一个零点，所以，时，函数有两个相异零点综上述，时，函数有两个相异零点【解析】先求导，根据参数的范围看导函数在R上的正负值，得原函数的单调性，进而求函数的极值假设存在实数a，对参数a看原函数有两个零点的条件，进而得a的范围考查对参数讨论，参数的取值范围不同，零点的个数不同，要两个零点的参数a的范围就讨论出来了，第二问属于比较难的题
