1、河北省张家口市宣化区宣化第一中学2021届高三数学上学期第一次联考试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 全集，则A. B. C. D. 2. 己知复数z满足，则A. B. 5C. D. 3. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线重合，且，又是角终边上一点，且为坐标原点，则等于A. 2B. C. 4D. 4. 已知等比数列中，等差数列中，则数列的前9项和等于A. 9B. 18C. 36D. 725. 已知，直线l与函数、的图象都相切，且与图象的切点为，则A. B. C. D. 6. 在内任取一个实数m，设，则函数的图象与x轴有公共点的概率等于A. B. C.
2、 D. 7. 已知x，y满足条件为常数，若目标函数的最大值为8，则A. B. C. D. 68. 设向量，满足，则的最大值等于A. B. 1C. 2D. 9. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是A. B. C. D. 10. 已知数列的首项，前n项和为，设，数列的前n项和的范围A. B. C. D. 11. 已知函数是定义在R上的偶函数，设函数的导函数为，若对任意都有成立，则A. B. C. D. 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，是圆与C位于x轴上方的两个交点，且，双曲线C的离心率为 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知样本
3、，的平均数和方差分别是1和4，若的平均数和方差也是1和4，则_14. 设函数，给出以下四个论断：的周期为；在区间上是增函数；的图象关于点对称；的图象关于直线对称以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_只需将命题的序号填在横线上15. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，点P是两曲线的一个公共点，分别是两曲线的离心率，若，则的最小值为_16. 已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积的最大值为则其外接球的体积为_三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足求角A的大小；设，S为的面积，求的最大
4、值18. 如图，在四棱锥中，平面ADE，平面ADE，求棱锥的体积；求证：平面平面CDE；在线段DE上是否存在一点F，使平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由19. 前些年有些地方由于受到提高GDP的影响，部分企业只重视经济效益而没有树立环保意识，把大量的污染物排放到空中与地下，严重影响了人们的正常生活，为此政府进行强制整治，对不合格企业进行关闭、整顿，另一方面进行大量的绿化来净化和吸附污染物通过几年的整治，环境明显得到好转，针对政府这一行为，老百姓大大点赞某机构随机访问50名居民，这50名居民对政府的评分满分100分如表：分数频数231114119请在答题卡上作出居民对政府的评分频率
5、分布直方图；当地环保部门随机抽测了2018年11月的空气质量指数，其数据如表：空气质量指数天数21882用空气质量指数的平均值作为该月空气质量指数级别，求出该月空气质量指数级别为第几级？同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率相关知识参见附表空气受到污染，呼吸系统等疾病患者最易感染，根据历史经验，凡遇到空气轻度污染，小李每天会服用有关药品，花费50元，遇到中度污染每天服药的费用达到100元环境整治前的2015年11月份小李因受到空气污染患呼吸系统等疾病花费了5000元，试估计2018年11月份参考中表格数据小李比以前少花了多少钱的医药费？附：空气质量指数空气质量指数级别空气质量指
6、数好良好轻度污染重度污染重度污染严重污染20. 已知两点、，动点P满足求动点P的轨迹E的方程；是曲线E与y轴正半轴的交点，曲线E上是否存在两点M、N，使得是以H为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由21. 已知函数，其中当时，求函数的单调区间；求函数的极值；若函数有两个不同的零点，求a的取值范围22. 在平而奁角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为求曲线，和的直角坐标方程；已知点是曲线上一点、M，N分别是和上的点，求的最大值设函数，若，恒成立求m的取值范围；求证：数学试卷答
7、案和解析1.【答案】A【解析】解：；故选：A可求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，配方法求二次函数值域的方法，以及交集、补集的运算2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了复数模的运算性质及其计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题利用复数模的运算性质及其计算公式即可得出【解答】解：，则故选C3.【答案】A【解析】解：角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线重合，且，为第三象限角又是角终边上一点，再根据为坐标原点，则，故选：A由题意可得，再根据且，求得m、n的值，可得则的值本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题4.【答
8、案】B【解析】解：数列是等比数列，又，解得数列是等差数列，数列的前9项和故选：B由等比数列的性质结合已知求得，代入，进一步代入等差数列的求和公式得答案本题考查了等比数列和等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题5.【答案】D【解析】解：由题意得，与图象的切点为的切线l的斜率，且，所以切点为，直线l的方程为：，直线l与的图象也相切，此方程组只有一解，即只有一解，解得或舍去故选D先求出，求出即其切线l的斜率和切点，代入点斜式求出切线l方程，利用l与的图象也相切，连立两个方程，则此方程组只有一解，再转化为一个方程一解，等价于判别式，进而求出m的值本小题主要考查直线的斜率与导数的几何意义的关
9、系、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，易错点直线l与两个函数图象相切时切点不同6.【答案】D【解析】【分析】本题考查几何概型概率的计算，二次函数，属于简单题利用的图象与x轴有公共点，可得或，根据几何概型即可求解【解答】解：的图象与x轴有公共点，或，在内任取一个实数m，函数的图象与x轴有公共点的概率等于故选：D7.【答案】B【解析】解：画出x，y满足的为常数可行域如下图：由于目标函数的最大值为8，可得直线与直线的交点，使目标函数取得最大值，将，代入得：故选B由目标函数的最大值为8，我们可以画出满足条件为常数的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然
10、后根据分析列出一个含参数k的方程组，消参后即可得到k的取值如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程组，代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值8.【答案】C【解析】解：，且，的夹角为，设，则，如图所示，则；，O，B，C四点共圆，由三角形的正弦定理得外接圆的直径，当OC为直径时，最大，最大为2故选：C由已知利用向量的数量积求出的夹角，利用向量的运算法则作出图形，结合图形可知O，B，C，A四点共圆通过正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理
11、、三角形的正弦定理等知识，属中档题9.【答案】D【解析】解：由题意可知：函数的图象如下：由关于x的方程有三个不同的实数解，可知函数与函数有三个不同的交点，由图象易知：实数a的取值范围为故选：D结合方程有三个不同的实数解，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，进而结合函数的图象即可获得解答此题考查的是方程的根的存在性以及根的个数问题在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、数形结合的思想10.【答案】C【解析】解：数列的首项，前n项和为，可得，时，可得，又，相减可得，即，可得，当时，也成立，则，前n项和，相减可得，化简可得，由，可得数列递增，即有，且，可得，故选：C运用数列的递推式和等比数列的
12、定义、通项公式可得，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得，判断单调性，即可得到所求范围本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，同时考查数列的错位相减法，考查化简运算能力，属于中档题11.【答案】A【解析】解：根据题意，令，其导数，又由对任意都有成立，则当时，有成立，即函数在上为增函数，又由函数是定义在R上的偶函数，则，则有，即函数为偶函数，则有，且，则有，即有；故选：A根据题意，令，求其求导分析可得当时，有成立，即函数在上为增函数，结合题意分析函数为偶函数，进而有，转化为分析可得答案本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及函数的奇偶性、单调性的
13、综合应用，关键是构造函数，并分析函数的单调性12.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题连接，由双曲线的定义，可得，在中，和中，运用余弦定理求得，由，可得，即有，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：连接，由双曲线的定义，可得，由，可得，在中，可得，在中，可得，由，可得，即有，可得，化为，得，解得负的舍去，故选：C13.【答案】1【解析】解：样本，的平均数和方差分别是1和4，的平均数和方差也是1和4，解得或，当时，；当时，则故答案为：1由样本，的平均数和方差分别是1和4，的平均数和方差也是
14、1和4，得到，由此能求出本题考查代数式求值，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14.【答案】 【解析】解：若的周期为，则，函数若再由的图象关于直线对称，则取最值，又，此时，成立，故由可以推出成立故答案为：，若的周期为，则函数，若再由，可得，显然能推出成立本题考查正弦函数的对称性，三角函数的周期性与求法，确定出函数的解析式，是解题的关键15.【答案】【解析】解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，由椭圆定义，又，得，将代入，得，当且仅当时取等号故答案为：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，令P在双曲线的右支上
15、，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出，由此能求出的最小值本题考查的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用16.【答案】【解析】解：是等腰直角三角形，为截面圆的直径，外接球的球心O在截面ABC中的射影为AC的中点D，当P，O，D共线且P，O位于截面同一侧时棱锥的体积最大，棱锥的最大高度为PD，解得，设外接球的半径为R，则，在中，由勾股定理得：，解得外接球的体积故答案为：求出棱锥的最大高度，利用勾股定理计算外接圆的半径，从而得出球的体积本题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17
16、.【答案】解：，由正弦定理可得，即，即为，由余弦定理可得，由，可得；，由正弦定理可得：，可得，则，当时，的最大值为【解析】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，以及余弦函数的值域，考查化简整理的运算能力，属于中档题运用正弦定理可得，再由余弦定理计算可得所求角；运用正弦定理求得b，c，由三角形的面积公式可得S，再由两角差的余弦公式和余弦函数的值域，即可得到所求最大值18.【答案】解：在中，平面ADE，证明：平面ADE，又，平面CDE，又平面ACE，平面平面CDE；解：在线段DE上存在一点F，使平面BCE，下面给出证明：设F为线段DE上的一点，且过F作交CE于点M，则，平面ADE，平面ADE
17、，又，四边形ABMF是平行四边形，又平面BCE，平面BCE平面BCE【解析】在中，可得由于平面ADE，可得由平面ADE，可得，进而得到平面CDE，即可证明平面平面CDE；在线段DE上存在一点F，使平面BCE，设F为线段DE上的一点，且过F作交CE于点M，由线面垂直的性质可得：可得四边形ABMF是平行四边形，于是，即可证明平面BCE本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19.【答案】解：由频率分布表可知，相应区间的值分别为，其频率分布直方图如图所示由题意得，该月空气质量指数平均值为对照表格可知，该月空气质量
18、指数为第级，属于良年11月份轻度污染的有8天，中度污染的有2天，所以小李花费的医药费为元又元所以相比2015年11月份，小李少花费了4400元的医药费【解析】本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查频率公式，属于基础题根据频率分布表的数据，得到各相应区间的，画出频率分布直方图即可以各组数据的中点为代表值，加权平均即可得到该月空气质量指数平均值，查表即可得到该月空气质量指数，根据2018年11月份轻度污染和中度污染的天数，计算小李的医药费，与2015年11月份比较即可20.【答案】解：设点P的坐标为，则，化简得，动点P的轨迹E的方程为注：如果未说明，扣分设能构成等腰直角三角形HMN，其中H
19、为，由题意可知，直角边HM，HN不可能垂直或平行于x轴，故可设HM所在直线的方程为，不妨设则HN所在直线的方程为，由求得交点，另一交点，用代替上式中的k，得，由，得，解得：或，当HM斜率时，HN斜率；当HM斜率时，HN斜率；当HM斜率时，HN斜率，综上述，符合条件的三角形有3个【解析】设点P的坐标为，求PA、PB的斜率，利用，化简可得动点P的轨迹E的方程；设能构成等腰直角三角形HMN，其中H为，由题意可知，直角边HM，HN不可能垂直或平行于x轴，故可设HM所在直线的方程为，不妨设则HN所在直线的方程为，确定交点M、N的坐标，求出HN、HM的长，利用，即可求得结论本题考查轨迹方程的求解，考查直线
20、与椭圆的位置关系，解题的关键是求出HN、HM的长，利用进行求解21.【答案】解：当时，函数的定义域为当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减函数的单调增区间为；单调递减区间为；当时，恒成立，函数在内单调递减，无极值；当时，令，得当时，当时，当时，函数取得极大值；由知，当时，函数在内单调递减，则至多有一个零点，不符题意，舍去；当时，函数取得极大值，令，在内单调递增，又，时，时，当时，则至多有一个零点，不合题意；当时，函数在内有一个零点；，设，在内单调递减，则函数在内有一个零点当时，函数恰有两个不同零点综上，当函数有两个不同的零点时，a的取值范围是【解析】当时，求其导函数，由导函数在不同区间
21、内的符号可得原函数的单调性；当时，恒成立，函数在内单调递减，无极值；当时，令，得由单调性可得当时，函数取得极大值；由知，当时，函数在内单调递减，则至多有一个零点，不符题意，舍去；当时，函数取得极大值，令，讨论的单调性，再分和分析函数的零点情况，可得当函数有两个不同的零点时，a的取值范围是本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题22.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为曲线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为曲线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为曲线的直角坐标方程为中，所以，根据定义，由于，所以，则的最大值为15【解析】利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换直接利用圆锥曲线的定义的应用，建立不等式，进一步求出结果本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，圆锥曲线的定义的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23.【答案】解：，恒成立，令，则在上是增函数，上是减函数，；证明：，可得，则，【解析】由，恒成立，可得，求出右边的最大值，即可求m的取值范围；利用对数的性质及基本不等式，即可证明结论本题考查恒成立问题，考查函数的最值，考查对数的性质、基本不等式的运用，属于中档题