1、第三单元 三角函数 知识框架 第三单元 知识框架 考纲要求 第三单元 考纲要求 1三角函数(1)任意角的概念、弧度制 了解任意角的概念 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化(2)三角函数 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 能利用单位圆中的三角函数线推导出2 ，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出 ysinx，ycosx，ytanx 的图象，了解三角函数的周期性 第三单元 考纲要求 理解正弦函数、余弦函数在区间0,2 上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间2，2 内的单调性 理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，sinxco
2、sxtanx.了解函数 yAsin(x)的物理意义；能画出 yAsin(x)的图象，了解参数 A，对函数图象变化的影响 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题 第三单元 考纲要求 2三角恒等变换 (1)和与差的三角函数公式 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系 (2)简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)3解三角形(
3、1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 第三单元 考纲要求 命题趋势 三角函数、简单的三角恒等变换、解三角形是高中数学重要的基础知识之一，又是高中数学的工具性知识之一，在高考中占有重要位置 (1)以选择题或填空题的形式考查三角函数的定义、同角三角函数关系、诱导公式、和差的三角函数、倍角公式在求值化简中的应用，考查三角函数的图象和性质，正弦定理和余弦定理解三角形，试题难度不大，以考查基础知识和基本方法为主，试卷中一般是1到2个小题；第三单元 命题趋势 (2)以解答题的
4、方式重点考查三角函数的图象和性质(可能和解三角形结合)，考查三角恒等变换公式在解决三角函数问题中的应用，考查解三角形和三角函数的性质，考查解三角形在解决实际问题中的应用试题难度中等或中等偏下；(3)在解析几何、立体几何、函数导数、平面向量等问题中考查三角函数的应用，发挥三角函数知识的工具性作用，如直线的斜率和倾斜角之间的关系、利用三角函数知识求解空间角等；由于三角函数和简单三角恒等变换、解三角形是传统的考试内容，这些年来已形成相对固定的考查模式，预计2012年仍然会延续这种命题模式 第三单元 命题趋势 使用建议 1编写意图 由于高考降低了对三角恒等变换的要求，三角恒等变换公式主要是解决三角函数
5、问题的工具，故本单元把教材中的三角函数和简单三角恒等变换进行了整合 在编写中注意到如下的几个问题：(1)考虑到该部分在高考试题中的考查特点和难度，加强了对基础知识、基本方法的讲解和练习题的力度，控制了选题的难度；(2)突出了yAsin(x)的图象和性质，在该讲设置了双课时作业；(3)考虑到三角函数知识的工具性，适当加入了三角函数在各个方面的应用的一些题目；(4)在第22讲中强化了正弦定理和余弦定理作三角形的技巧和访求，以基本的选题讲解这两个定理如何解三角形，并在第23讲中着重讲对其应用，以培养学生应用数学知识解决实际问题的能力 第三单元 使用建议 2教学指导 鉴于该部分知识的重要性，以及该部分
6、在高考中的考查特点是重视基础知识和基本方法，教师在引导学生复习该部分时，要注意如下几个问题：(1)进行考情思路分析，使学生明白该部分在高考中的考查特点是重视基础，在复习中不要追求难题、偏题和怪题，只要把基本问题复习透彻即可；(2)由于该部分的选题以基础为主，其中绝大多数问题学生都能独立完成，在教学中要充分发挥学生的主体地位，尽量让学生独立完成包括例题在内的题目，教师在于对方法和规律的总结，在于引导；(3)在复习中要对照考纲，关注一些公式的导出过程，如考 第三单元 使用建议 纲中的“能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切，及的正弦、余弦的诱导公式”“会用向量的数量积推导出两角差的余弦
7、公式”等；(4)正弦定理、余弦定理是考试大纲要求掌握的内容，是最高级别的要求，在复习这两个定理时应该要求学生对照课本掌握这两个定理的证明，然后通过例题，讲解和变式训练使学生牢固掌握这两个定理并能利用其解有关三角形的题型第三单元 使用建议 (5)正弦定理和余弦定理都能实现三角形中边角关系的互化，在三角形的三角函数问题中边角互化是解决问题的基本思想，教师在引导学生复习时，要注重引导学生寻求合理的边角互化的方向正弦定理、余弦定理本身就是一个方程，在三角形问题中注意引导学生使用方程的思想解题 第三单元 使用建议 (6)解三角形的实际应用题经常出现在高考中解三角形的实际应用问题实际上就是在不同的三角形中
8、测量出一些角度和距离，通过在可解三角形中使用正弦定理和余弦定理，把求解目标纳入到一个新的可解三角形中，再根据正弦定理和余弦定理加以解决，教师在引导学生思路解三角形的实际应用问题时要把这个基本思想教给学生，这是解三角形实际应用问题的本质所在 第三单元 使用建议 3课时安排 该部分共8节，其中第19讲设置双课时作业，一个滚动基础训练卷和一个单元能力训练卷，建议11课时完成复习任务 第三单元 使用建议 第16讲 角的概念及任意角的三角函数 第16讲 角的概念及任意角 的三角函数 1任意角 任意角包括_，与 终边相同的角，连同角 在内可以表示为集合 S|，kZ 的形式 2象限角和轴线角 在直角坐标系内
9、的角分象限角和象限界角(或轴线角)，其中第一象限角的集合是_(kZ)，终边在 y 轴上的角是 _(kZ)等 3弧度制 弧长等于_的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0.如果半径是 r 的圆心角 所对的弧长为 l，则|_.角度制和弧度制之间有换算公式 (弧度)等于_ 知识梳理 第16讲 知识梳理 正角、负角、零角 k360 半径1802k，2k2k 2 lr 第16讲 知识梳理 r4扇形的弧长和面积 圆心角的弧度数为 ，半径为 r 的扇形有公式：弧长 l_，面积 S_.5任意角的三角函数 在任意角 的终边上任取一点 P(x，y)，设 OP
10、r(r0)，则 cos xr，sin yr，tan yx.三个三角函数的初步性质如下表：12 r2 12lr 第16讲 知识梳理 第16讲 知识梳理 6.单位圆中的三角函数线 如图161中的有向线段MP、OM、AT分别称为角的正弦线、余弦线和正切线，它是数形结合的有效工具 图161要点探究 探究点1 任意角的概念的应用第16讲 要点探究 例 1(1)已知 k 4(kZ)，则 是()A第一或第三象限角 B第一或第二象限角 C第二或第四象限角 D第三或第四象限角(2)设 是第三象限角，且cos2 cos2，则2 在()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 第16讲 要点探究 思路 由于判
11、断一个角所在的象限时要把角化为2k (kZ,0 2)的形式，故根据k为奇数和偶数分类讨论即可 答案 (1)A(2)B 解析(1)当 k2m(mZ)时，2m 4(mZ)，此时 是第一象限角；当 k2m1(mZ)时，2m 54(mZ)，此时 是第三象限角(2)由 是第三象限角，则2k 2k 32(kZ)，k 2 2k 34(kZ)，仿照(1)的方法可知，2 是第二或第四象限角，再由 cos20 可得，2 只能是第二象限角 第16讲 要点探究 设 6，3，且 17的终边与 角的终边相同，则tan 等于()A.21 B.2 C.21 D1 思路 根据终边相同的角的表示方法，建立 的方程，再根据 的范围
12、确定 的取值 答案 D解析 根据终边相同的角的表示方法，则 17 2k (kZ)，得 k8(kZ)由于 6，3，故6 k8 3，由此得43k83，由于 k 是整数，故 k2，所以 4，所以 tan 1.探究点2 扇形弧长公式与扇形面积公式的应用第16讲 要点探究 例 2(1)已知扇形的半径为 10 cm，圆心角为 120，则扇形的弧长为_，面积为_(2)周长为 c 的扇形，当扇形的圆心角 _弧度时，其面积最大，最大面积是_ 第16讲 要点探究 思路(1)根据公式进行计算；(2)建立扇形的面积关于弧长或者半径或者圆心角的函数，通过函数的最值解决 答案 (1)203 cm 1003 cm2(2)2
13、 c216 第16讲 要点探究 解析(1)圆心角 23，弧长 l r203 (cm)，面积 S12 r21003(cm2)(2)设扇形的半径为 r，弧长为 l，面积为 S.方法一：c2rl，rcl2(l0 时，sin 3t5t 35，cos 4t5t45，|sin cos|15；当 t0 Btan2 cos2 Dsin2 cos2 思路 根据 是第一象限角，确定2 所在的象限及其范围，然后结合单位圆中的三角函数线确定三角函数值的大小关系 第16讲 要点探究 解析 由于 是第一象限角，故 2k 2k 2(kZ)，k 2 0 且 tan 0，结合单位圆中的三角函数线，可知 在0,2 内的取值范围是
14、4，2 ，54.已知点P(sin cos，tan)在第一象限，求在0,2 内 的取值范围 思路 根据点P的位置，确定角的三角函数值的大小关系，然后根据单位圆中的三角函数线，确定 的取值范围 第16讲 要点探究 规律总结 第16讲 规律总结 1终边相同的角可以表示为 2k (kZ)(0 2)的形式，在解决终边相同角问题时，要注意把问题归结为这种形式，便于问题的解决 2角度制和弧度制是度量角的两种方法，其中弧度制更有利于研究三角函数，在角度制和弧度制之间有换算公式(弧度)180.第16讲 规律总结 3在扇形的有关问题中，要充分揭示图形的性质及联系，抓住圆心角、半径、弧长、面积这些量中知二求其余的关键 4根据任意角的三角函数定义解题时，可以取角的终边上的任意一点，特别在解选择题和填空题时，可以取角的终边上的一个特殊点 5单位圆中的三角函数线是实现数形结合的重要工具，利用单位圆中的三角函数线可以研究同角三角函数关系、诱导公式以及三角函数的图象，要注意三角函数线是有向线段