1、课时规范练40空间图形的基本关系与公理基础巩固组1.(2020浙江丽水模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.垂直2.(2020广东汕头模拟)a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是()A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交C.若ab,则a,b与c所成的角相等D.若ab,bc,则ac3.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()A.A,M,O
2、三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面4.(2020海南三亚模拟)在空间四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF,GH相交于点P,那么()A.点P必在直线AC上B.点P必在直线BD上C.点P必在平面DBC内D.点P必在平面ABC外5.(2020山东临沂模拟)如图所示,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.456.(2020江西宜春模拟)已知AE是长方体ABCD-EFGH的一条棱,则在这个长方体的
3、十二条棱中,与AE异面且垂直的棱共有条.7.(2020江苏启东中学模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.综合提升组8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1,点M在线段BC上(点M异于B,C两点),点N为线段CC1的中点,若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为五边形,则线段BM的取值范围是()A.0,12B.12,1C.13,1D.12,139.(2020湖北孝感模拟)已知在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD的中点.若AB=2,CD=4,EFAB,
4、则EF与CD所成角的度数为.10.(2020湖北武汉模拟)如图所示,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ与CB的延长线交于点M,RQ与DB的延长线交于点N,RP与DC的延长线交于点K.给出以下结论:直线MN平面PQR;点K在直线MN上;M,N,K,A四点共面.其中正确结论的序号为.11.如图所示,平面BCC1B1平面ABC,ABC=120,四边形BCC1B1为正方形,且AB=BC=2,则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为.(第10题图)(第11题图)12.(2020江苏盐城模拟)已知空间四边形ABCD(如图所示),E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且CG=13BC
5、,CH=13DC.求证:(1)E,F,G,H四点共面;(2)三直线FH,EG,AC共点.创新应用组13.如图,在正四面体ABCD中,E是棱AD上靠近点D的一个三等分点,则异面直线AB和CE所成角的余弦值为.参考答案课时规范练40空间图形的基本关系与公理1.A由BCAD,ADA1D1知,BCA1D1,从而四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1BCD1,又EF平面A1BCD1,EFD1C=F,则A1B与EF相交.2.C对于A,B,D,a与c可能相交、平行或异面,因此A,B,D不正确,根据异面直线所成角的定义知C正确.3.A连接A1C1,AC,图略,则A1C1AC,所以A1,C1,A,C四点共面.
6、所以A1C平面ACC1A1.因为MA1C,所以M平面ACC1A1.又M平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.同理A,O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.4.A如图,因为EF平面ABC,而GH平面ADC,且EF和GH相交于点P,所以点P在两平面的交线上,因为AC是两平面的交线,所以点P必在直线AC上.5.D连接BC1,易证BC1AD1,则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1,由AB=1,AA1=2,则A1C1=2,A1B=BC1=5,在A1BC1中,由余弦定理得cosA1BC1=5+5-2255=45.6.4作出
7、长方体ABCD-EFGH.在这个长方体的十二条棱中,与AE异面且垂直的棱有GH,GF,BC,CD.共4条.7.证明(1)如图,连接EF,CD1,A1B.E,F分别是AB,AA1的中点,EFBA1.又A1BD1C,EFCD1,E,C,D1,F四点共面.(2)EFCD1,EF12时,截面为五边形,如图,符合题意,即线段BM的取值范围为12,1.故选B.9.30如图,设G为AD的中点,连接GF,GE,则GF,GE分别为ABD,ACD的中位线.由此可得GFAB,且GF=12AB=1,GECD,且GE=12CD=2,FEG或其补角即为EF与CD所成的角.EFAB,GFAB,EFGF.因此,在RtEFG中
8、,sinGEF=GFGE=12,可得GEF=30,EF与CD所成角的度数为30.10.由题意知,MPQ,NRQ,KRP,从而点M,N,K平面PQR.所以直线MN平面PQR,故正确.同理可得点M,N,K平面BCD.从而点M,N,K在平面PQR与平面BCD的交线上,即点K在直线MN上,故正确.因为A直线MN,从而点M,N,K,A四点共面,故正确.11.64由题目中的位置关系,可将原图补为如图所示的直四棱柱,BC1AD,异面直线BC1与AC所成角即为直线AD与AC所成角DAC,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=4+4-8cos120=12,AC=23,又AD=CD=4+4
9、=22,cosDAC=AD2+AC2-CD22ADAC=8+12-822223=64.12.证明(1)连接EF,GH,因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EFBD.又因为CG=13BC,CH=13DC,所以GHBD,所以EFGH,所以E,F,G,H四点共面.(2)易知直线FH与直线AC共面,不平行,所以设FHAC=M,所以M平面EFHG,M平面ABC.又因为平面EFHG平面ABC=EG,所以MEG,所以FH,EG,AC共点.13.714如图,取棱BD上靠近点D的一个三等分点F,又因为E是棱AD上靠近点D的一个三等分点,所以EFAB,所以CEF是异面直线AB和CE所成的角,不妨设正四面体ABCD的棱长为3,则DE=13AD=1,EF=13AB=1,DF=13BD=1,在CDE中,由余弦定理得CE2=DE2+CD2-2DECDcosCDE=12+32-21312=7,所以CE=7,同理,在CDF中,由余弦定理得CF=7,在CEF中,由余弦定理,得cosCEF=EF2+CE2-CF22EFCE=12+(7)2-(7)2217=714.