1、第18讲 三角函数的图象和性质 第18讲 三角函数的图象和性质 知识梳理 1周期函数 (1)周期函数的定义 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有_ _，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 2五点法作图原理 在确定正弦函数ysinx，x0,2 的图象形状时，起关键作用的五点是_ 在确定余弦函数ycosx，x0,2 的图象形状时，起关键作用的五点是_ 第18讲 知识梳理 f(xT)f(x)(0,0)，2，1，(，0)，
2、32，1，(2，0)(0,1)，2，0，(，1)，32，0，(2，1)第18讲 知识梳理 3三角函数的图象与性质 第18讲 知识梳理 2 2 奇 偶 奇 第18讲 知识梳理 增 减 增 减 增 第18讲 知识梳理 4.三角函数图象的对称性：(1)正弦函数ysinx图象的对称中心是(k，0)(kZ)，对称轴方程是_ _；(2)余弦函数ycosx图象的对称中心是_ _，对称轴方程是xk(kZ)；(3)正切函数ytanx图象的对称中心是_，不存在对称轴 xk 2(kZ)k 2，0(kZ)k2，0(kZ)要点探究 探究点1 三角函数图像的简单应用第18讲 要点探究 例 1(1)若 sinx12，则 x
3、 的范围是_；若 32cosx0，则 x 的范围是_；若 tanx1，则 x 的范围是_(2)下列坐标所表示的点不是函数 ytanx26 的图象的对称中心的坐标是()A.3，0 B.53，0 C.43，0 D.23，0 第18讲 要点探究 思路(1)只要根据三角函数的图象并注意特殊角的三角函数值即可；(2)检验是否符合x26 k2(kZ)第18讲 要点探究 答案(1)2k 6 x2k 56(kZ)2k 56 x2k 76(kZ)k 2 xk 4(kZ)(2)D 第18讲 要点探究 解析(1)由于在0,2 内只有 x6，56 满足 sinx12，根据周期性得x 的范围是 2k 6 x2k 56(
4、kZ)；由于在0,2 内只有 x56，76满足不等式 32cosx0，根据周期性得 x 的范围是 2k 56 x2k 76(kZ)；由于在2，2 内只有2，4 满足不等式 tanx1，根据周期性得 x的范围是 k 2 0，cosx0，此时 yf(x2)，则下列不等式必定成立的是()Ax1x20 Bx21x22 Cx1x2 Dx1f(x2)，得 f(|x1|)f(|x2|)，故|x1|x2|，于是 x21x22.思路(1)根据周期性和奇偶性把所求的函数值转化到已知区间上的函数值；(2)根据函数是偶函数，利用偶函数的性质 第18讲 要点探究 点评 函数的奇偶性反映了函数在关于定义域对称区间上函数值
5、的规律，利用这个规律可以由一个函数值求解另外一个函数值，其功能之一就是转化函数值到已知；函数的周期性反映了在等距离(周期的倍数)上的两个函数值之间的相等关系，其功能也是把函数值进行转化，以达到由已知函数值求解未知函数值的目的特别指出对偶函数而言f(x)f(|x|)函数奇偶性是函数的整体性质，奇偶性定义是解题的基本依据，看下面的变式 如果 f(x)sin(x)2cos(x)是奇函数，则 tan 的值为()A1 B1 C2 D2 第18讲 要点探究 答案 D 思路 根据函数是奇函数必须满足f(x)f(x)，得到关于x的恒等式，根据这个等式恒成立的条件确定所满足的关系，或者根据定义在R上的奇函数必须
6、满足f(0)0求解第18讲 要点探究 解析 方法一：由 f(x)f(x)，得 sin(x)2cos(x)sin(x)2cos(x)，按照和差角的正弦、余弦公式展开并整理得(sin 2cos)cosx0，该式对任意 x 恒成立，则只能是sin 2cos 0，即 tan 2.方法二：由已知可得 f(x)f(x)，令 x0 可得 f(0)0，即 sin2cos 0，即 tan 2.探究点4 三角函数的单调性第18讲 要点探究 例 4(1)在ABC 中，C2，若函数 yf(x)在0,1上为单调递减函数，则下列命题正确的是()Af(cosA)f(cosB)Bf(sinA)f(sinB)Cf(sinA)f
7、(cosB)Df(sinA)f(cosB)(2)函数 f(x)tanx4 的单调递增区间为()A.k 2，k 2，kZ B(k，(k1)，kZ C.k 34，k 4，kZ D.k 4，k 34，kZ 第18讲 要点探究 思路(1)根据角A，B之和小于，利用正弦函数或者余弦函数的单调性确定A，B的正弦和余弦的大小，再根据函数f(x)的单调性进行判断；(2)把x看做一个整体，根据正切函数的单调性求解 答案 (1)C(2)C 第18讲 要点探究 解析(1)根据 0AB2 得 0A2 B2，所以 sinAsin2 BcosB，根据函数 yf(x)在0,1上为单调递减函数知正确选项为 C.(2)令 k
8、2 x4 k 2(kZ)，解得 k 34 xk 4(kZ)点评 三角函数的单调性反映了具有大小关系的两个角之间三角函数值的大小，利用三角函数的单调性比较三角函数值的大小是单调性的主要应用之一较为简单的函数ytan(x)的单调区间可以把x 看成一个整体，利用正切函数得到其单调区间，高考重点考查yAsin(x)的图象和性质(在第21讲重点解决这个问题)，对正切的情况要求不高，复习时点到为止 求下列函数的单调区间(1)y12sin4 2x3；(2)ycosx4.第18讲 要点探究 思路(1)根据函数性质把函数变换为ysin 后解决；(2)结合函数的图象变换方法和余弦函数的单调性解决 第18讲 要点探
9、究 解答(1)原函数变形为 y12sin2x3 4.令 u2x3 4，则只需求 ysinu 的单调区间即可 ysinu 在 2k 2 u2x3 4 2k 2(kZ)，即 3k 38 x3k 98，(kZ)上单调递增；在 2k 2 u2x3 4 2k 32(kZ)上，即 3k 98 x3k 218 (kZ)上单调递减 故 y12sin4 2x3 的递减区间为3k 38，3k 98(kZ)，递增区间为3k 98，3k 218 (kZ)第18讲 要点探究(2)原函数的增减区间即是函数 ycosx4的减增区间，令 ux4，由函数 y|cosu|的图象可知周期 T 且 y|cosu|在 k 2ux4 k
10、，即 k 34 xk 4，kZ 上递增；在 k ux4 k 2，即 k 4 xk 4，kZ 上递减 故 所 求 的 递 减 区 间 为k 34，k 4，递 增 区 间 为k 4，k 4(kZ)规律总结 第18讲 规律总结 1三角函数的图象从形上完全反映了三角函数的性质，要善于从图象上记忆三角函数的性质，注意根据三角函数图象分析解决问题 2在三角函数中正弦、余弦函数是有界的，正弦、余弦函数的有界性在求函数值域或最值中发挥着重要作用 3函数的周期性是函数在定义域上的整体性质，即对定义域上的任意自变量都满足f(xT)f(x)，这个性质的主要作用是化简三角函数式和把未知的三角函数值转化为已知的三角函数值 第18讲 规律总结 4三角函数的单调性是函数的局部性质，三角函数的单调区间都是对同一个k值而言的，在同一个k值的区间上三角函数是单调的，在这个区间上可以根据单调性确定具有大小关系的两个自变量的函数值的大小，在k值不同的区间上，三角函数是不单调的