1、第二部分 讲练篇 专题一 三角函数和解三角形第2讲 恒等变换与解三角形自 主 练 考 点 整 合 做小题激活思维1在ABC中，a3，b5，sin A13，则sin B()A.15 B.59 C.53 D1B 根据 asin A bsin B，有313 5sin B，得sin B59.故选B.2在ABC中，已知a2b2bcc2，则角A为()A.3B.6C.23D.3或23C 由a2b2bcc2，得b2c2a2bc，由余弦定理的推论得：cos Ab2c2a22bc12，A23.3若sin()sin cos()cos 45，且为第二象限角，则tan4()A7 B17C7D17B sin()sin c
2、os()cos cos()cos sin()sin cos()cos 45，即cos 45.又为第二象限角，tan 34，tan4 1tan 1tan 17.4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a3，C3，ABC的面积为3 34，则c()A13B3 3C 7D 13C ABC的面积为 3 34，12 absin C 12 3b32 3 34，b1，由余弦定理得c a2b22abcos C321223112 7.故选C.5已知tan 13，则sin 2cos21cos 2 _.56 sin 2cos21cos 2 2sin cos cos212cos21 2sin cos cos
3、22cos2tan 1256.6函数y 32 sin 2xcos2x的最小正周期为_ y 32 sin 2xcos2x 32 sin 2x12cos 2x12sin2x6 12，函数的最小正周期T22.扣要点查缺补漏1正弦定理asin A bsin Bcsin C2R(其中 R 为ABC 外接圆的半径)，如 T1.2余弦定理及其变形a2b2c22bccos A，cos Ab2c2a22bc，如 T2.3如图所示，在ABC中，AD平分角A，则ABACBDDC.4两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin；(2)cos()cos cos sin sin；(3)t
4、an()tan tan 1tan tan，如 T3.5面积公式S12absin C12acsin B12bcsin A12(abc)r(其中 r 为ABC内切圆的半径)，如 T4.6二倍角公式及其变形(1)sin 22sin cos；(2)(3)tan 2 2tan 1tan2.如T5.7辅助角公式asin xbcos x a2b2sin(x)，其中 sin ba2b2，cos aa2b2，如 T6.研 考 题 举 题 固 法 三角恒等变换(5年3考)高考解读 高考对该点的考查突出一个“变”字，即“变角、变名、变形”.从“角”入手，用活三角恒等变换公式是破解此类问题的关键.预测2020年高考还
5、是以给值求值为主.1一题多解(2016全国卷)若cos4 35，则sin 2()A.725 B.15 C15 D 725D 法一：(公式法)cos435，sin 2cos22 cos24 2cos24 1 725，故选D.法二：(整体代入法)由cos4 22(sin cos)35，得sin cos 35 2，所以(sin cos)212sin cos 1825，即sin 22sin cos 725.2(2018全国卷)已知sin cos 1，cos sin 0，则sin()_.12 sin cos 1，cos sin 0，22得12(sin cos cos sin)11，sin cos cos
6、 sin 12，sin()12.三角函数式化简求值的“三看”原则(1)看“角”：分析未知角与已知角间的差别与联系，实现角的合理拆分；(2)看“名”：常采用切化弦或诱导公式实现函数名称的统一；(3)看“形”，常借助和、差、倍、半角公式实现三角函数式的形式统一1(给值求值)若，都是锐角，且cos 55，sin()35，则cos()A.2 525B.2 55C.2 525 或2 55D.55 或 525A 因为，都是锐角，且cos 55 12，所以32，又sin()3512，所以256，所以cos()1sin245，sin 1cos22 55，cos cos()cos()cos sin()sin 2
7、 525，故选A.2(给角求值)(2019安阳模拟)化简sin23512cos 10cos 80等于()A2B12C1D1C sin23512cos 10cos 801cos 70212cos 10sin 10cos 70sin 20 1.3.(给值求角)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为210，2 55，则2的值为_34 cos 210，0，2，sin 7 210，tan 7；cos 2 55，0，2，sin 55，tan 12，tan 2 2tan 1tan243，tan(2)74317431，0，2，
8、0，2，20，32，234.利用正、余弦定理解三角形(5年11考)高考解读 高考对该点的考查常以平面几何图形为载体，借助三角恒等变换公式及正余弦定理实现边角的相互转化，从而达到求值的目的，预测2020年高考依旧这样考查.1(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为a2b2c24，则C()A.2 B.3C.4D.6C 根据题意及三角形的面积公式知12absin Ca2b2c24，所以sin Ca2b2c22abcos C，所以在ABC中，C4.2(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ABC的面积为a23sin A.(1)求sin
9、 Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周长切入点：ABC面积公式SABC12absin C12bcsin A12acsin B.关键点：余弦定理公式的变形：a2(bc)22bc2bccos A.解(1)由题设得12acsin Ba23sin A，即12csin Ba3sin A.由正弦定理得12sin Csin B sin A3sin A.故sin Bsin C23.(2)由题设及(1)得cos Bcos Csin Bsin C12，即cos(BC)12.所以BC23，故A3.由题意得12bcsin Aa23sin A，a3，所以bc8.由余弦定理得b2c2bc9，
10、即(bc)23bc9.由bc8，得bc 33.故ABC的周长为3 33.用正、余弦定理求解三角形注意2点,1分析已知的边角关系，选择恰当的公式、定理.,结合三角形固有的性质三角形内角和，大边对大角等求解三角形.2在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a2b2c22bccos A中，有b2c2和bc两项，二者的关系b2c2bc22bc经常用到.提醒：解三角形时忽视对三角形解的个数讨论而出错.1(以平面图形为载体)在平面四边形ABCD中，D90，BAD120，AD1，AC2，AB3，则BC()A.5 B.6C.7D2 2C 如图，在ACD中，D90，AD1，AC2，所以CAD60
11、.又BAD120，所以BACBADCAD60.在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcosBAC7，所以BC 7.故选C.2(知识间的内在联系)已知ABC的面积为S，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4Sa2(bc)2，bc4，则S()A2B4C.3D2 3A 由4Sa2(bc)2可得412bcsin Aa2b2c22bc，2bcsin A2bc2bccos A，即sin Acos A1，所以sinA4 22，又0A，所以4A454，即A434，A2.SABC12bcsin A1242.故选A.3(以空间图形为载体)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进
12、行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20的方向上，仰角为60；在点B处测得塔顶C在东偏北40的方向上，仰角为30.若A，B两点相距130 m，则塔的高度CD_m.10 39 设CDh，则AD h3，BD 3h.在ADB中，ADB1802040120，则由余弦定理AB2BD2AD22BDADcos 120，可得13023h2h23 2 3h h312，解得h10 39，故塔的高度为10 39 m4(恒等变换与解三角形)(2019北京高考)在ABC中，a3，bc2，cos B12.(1)求b，c的值；(2)求sin(BC)的值解(1)a3，bc2，cos B12.由余弦定理，得b2a2c22acco
13、s B 9(b2)223(b2)12，b7，cb25.(2)在ABC 中，cos B12，sin B 32，由正弦定理：csin C bsin B，sin Ccsin Bb5 3275 314，bc，BC，C 为锐角，cos C1114，sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C 32 111412 5 314 4 37.与三角形有关的最值(范围)问题(5年1考)高考解读 与三角形有关的最值范围问题主要涉及三角形的内角、边长、周长、面积等的最大、最小值问题，借助三角函数的有界性及均值不等式建立不等关系是解答此类问题的关键所在.(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
14、b，c，已知asinAC2bsin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围切入点：(1)借助正弦定理及三角形内角和定理求解；(2)由ABC为锐角三角形求得C的范围，借助正弦定理及三角函数的有界性求面积的取值范围 解(1)由题设及正弦定理得sin AsinAC2sin Bsin A.因为sin A0，所以sinAC2sin B.由ABC180，可得sinAC2cosB2，故cosB22sinB2cosB2.因为cosB20，故sinB212，因此B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC 34 a.由正弦定理得acsin Asin C sin120Cs
15、in C32tan C12.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC120，所以30C90，故12a2，从而 38 SABC 32.因此，ABC面积的取值范围是38，32.与三角形有关的最值(范围)问题的求解策略策略一：可选择适当的参数将问题转化为三角函数的问题处理，解题中要借助于正弦定理、余弦定理等工具将边角问题统一转化为形如yAsin(x)(或yAcos(x)的函数的最值问题，然后根据参数的范围求解 策略二：借助正、余弦定理，化角为边，然后借助均值不等式对含有a2b2，ab，ab的等式求最值1(角度的最值范围问题)(2019武汉模拟)设ABC的内角A，B，C的对边分别为
16、a，b，c，且a，b，c成等比数列，则角B的取值范围是()A.0，6 B.6，C.0，3D.3，C a，b，c成等比数列，b2ac，由余弦定理，得cos Ba2c2b22aca2c2ac2ac2acac2ac12，又B(0，)，B0，3，故选C.2(长度的最值范围问题)在ABC中，若C是钝角，且B 3，则ca的取值范围是_(2，)C为钝角，C23 A2，0A6.由正弦定理，得casin23 Asin A 32 cos A12sin Asin A12 32 1tan A.0tan A 33，1tan A 3，ca12 32 32，即ca2.3(综合应用)已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C
17、所对的边，向量m(sin A，sin B)，n(sin C，sin A)，且mn.(1)若cos A12，bc6，求ABC的面积；(2)求absin B的取值范围解 因为mn，所以sin2Asin Bsin C，结合正弦定理可得a2bc.(1)因为cos A12，所以b2c2a22bc12，即bc23bc2bc12，解得bc9.从而ABC的面积SABC12bcsin A129 32 9 34，故ABC的面积为9 34.(2)因为a2bc，所以cos Ab2c2a22bcb2c2bc2bc2bcbc2bc12(当且仅当bc时，取等号)因为0A，所以角A的取值范围是0，3.由正弦定理，知0absin Bsin A 32，所以absin B的取值范围是0，32.Thank you for watching!