1、3.1.1两角和与差的余弦明目标、知重点1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法推导出公式的主要步骤.3.熟记两角和、差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.两角和与差的余弦公式：C：cos()cos cos sin sin .C：cos()cos cos sin sin .情境导学我们在初中时就知道cos 45，cos 30，由此我们能否得到cos 15cos(4530)？大家可以猜想，是不是等于cos 45cos 30呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式.探究点一两角差余弦公式的探索思考1有人认为cos
2、()cos cos ，你认为正确吗，试举两例加以说明.答不正确.例如：当，时，cos()cos ，而cos cos cos cos ，cos()cos cos ；再如：当，时，cos()cos ，而cos cos cos cos ，cos()cos cos .思考2请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想.cos 45cos 45sin 45sin 451cos 0；cos 60cos 30sin 60sin 30cos 30；cos 30cos 120sin 30sin 1200cos(90)；cos 150cos 210sin 150sin 210cos(60).猜想：
3、cos cos sin sin cos()；即：cos()cos cos sin sin .探究点二两角差余弦公式的证明思考如图，以坐标原点为中心，作单位圆，以Ox为始边作角与，设它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，请回答下列问题：(1)P点坐标是(cos ，sin )，向量(cos ，sin )，|1.Q点坐标是(cos ，sin )，向量(cos ，sin )，|1.(2)当为钝角，为锐角时，和向量与的夹角，之间的关系是：，；当为锐角，为钝角时，和向量与的夹角，之间的关系是：，；当，均为任意角时，和，的关系是：2k，kZ.(3)向量与的数量积|cos，cos()；另一方面，与的数量积用点
4、坐标形式表示：(cos ，sin )(cos ，sin )cos cos sin sin .从而，对任意角，均有cos()cos cos sin sin .例1利用和、差角余弦公式求cos 75、cos 15的值.解cos 75cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30；cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.反思与感悟在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30，45，60，90，120，150，)之间和与差的关系问题.然后利用公式化简求值.而把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很
5、多种构造方法，例如：cos 15cos(6045)，要学会灵活运用.跟踪训练1求cos 105sin 195的值.解cos 105sin 195cos 105sin(90105)cos 105cos 1052cos 1052cos(13530)2(cos 135cos 30sin 135sin 30)2.例2已知sin ，cos ，是第三象限角，求cos()的值.解因为，sin .由此得cos ，又因为cos ，是第三象限角，所以sin .所以cos()cos cos sin sin .反思与感悟(1)注意角、的象限，也就是符号问题.(2)三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名
6、称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有：()，()，(2)()，()()，()()等.跟踪训练2设cos，sin，其中，求cos 的值.解，sin ，cos .cos coscoscossinsin.探究点三两角和与差的余弦公式的应用思考1若已知和的三角函数值，如何求cos 的值？答cos cos()cos()cos sin()sin .思考2利用()可得cos 等于什么？答cos cos()cos()cos sin()sin .思考3若cos cos a，sin sin b，则cos()等于什么？答cos().例3已知cos ，cos()，且、，求的值.解、且c
7、os ，cos()，sin ，sin().又()，cos cos()cos()cos sin()sin .又，.反思与感悟(1)本题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：求角的某一三角函数值；确定角所在的范围(找区间)；确定角的值.(2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.跟踪训练3已知cos()，cos()，且，求角的值.解由，且cos()，得sin()，由，且cos()，得sin().cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()1.又，2.2，则.1.cos 78cos 18sin 78sin 18的值为()
8、A. B.C. D.答案A解析cos 78cos 18sin 78sin 18cos(7818)cos 60，故选A.2.sin 14cos 16sin 76cos 74的值是()A. B. C. D.答案B解析sin 14cos 16sin 76cos 74cos 76cos 16sin 76sin 16cos(7616)cos 60.3.sin 60cos 60 .答案解析原式sin 30sin 60cos 30cos 60cos(6030)cos 30.4.已知锐角、满足sin ，cos ，求.解、为锐角且sin ，cos ，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin
9、.由0，0得00，为锐角，.呈重点、现规律1.公式C与C都是三角恒等式，既可正用，也可逆用.要注意公式的结构特征.如：cos cos sin sin cos().2.要注意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，创造出应用公式的条件进行求解.3.注意角的拆分技巧的积累，如：()()等.一、基础过关1.化简：cos(45)cos(15)sin(45)sin(15)得()A. B.C. D.答案A解析原式cos(45)cos(15)sin(45)sin(15)cos(45)(15)cos(60).2.计算：cos 70cos 335sin 110sin 25的结果是()A.1 B.C
10、. D.答案B解析原式cos 70cos 25sin 70sin 25cos(7025)cos 45.3.在ABC中，若sin Asin Bcos Acos B，则ABC一定为()A.等边三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形答案D解析sin Asin B0，cos(AB)0即cos(C)0，cos C0，cos C0，0CC，ABC为钝角三角形.4.已知点A(cos 80，sin 80)，B(cos 20，sin 20)，则|等于()A. B. C. D.1答案D解析| 1.5.若sin()，是第二象限角，sin，是第三象限角，则cos()的值是()A. B. C. D.答案B
11、解析sin()，sin ，是第二象限角，cos .sin，cos ，是第三象限角，sin .cos()cos cos sin sin .6.若cos()，则(sin sin )2(cos cos )2 .答案解析原式22(sin sin cos cos )22cos().7.已知cos cos ，sin sin ，求cos().解由cos cos 两边平方得(cos cos )2cos2cos22cos cos .由sin sin 两边平方得(sin sin )2sin2sin22sin sin .得22(cos cos sin sin ).cos cos sin sin ，cos().二、能
12、力提升8.将函数ycos xsin x(xR) 的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A. B. C. D.答案B解析ycos xsin x2sin(x)向左平移m个单位长度后得到y2sin(xm)，它关于y轴对称可得sin(m)1，mk，kZ，mk，kZ，m0，m的最小值为.9.已知sin sin sin 0，cos cos cos 0，则cos()的值是 .答案解析由2222(sin sin cos cos )1cos().10.已知、均为锐角，且sin ，cos ，则的值为 .答案解析、，cos ，sin ，sin sin ，.cos()cos
13、 cos sin sin ，.11.已知：cos(2)，sin(2)，且，0，求cos().解因为，0，所以2.因为cos(2)，所以2.所以sin(2).因为，0，所以2.因为sin(2)，所以020，xR)的最小正周期为10.(1)求的值；(2)设，0，f(5)，f(5)，求cos cos sin sin 的值.(3)求f(x)的单调递增区间.解(1)T10，所以.(2)f(5)2cos(5)2cos()2sin ，所以sin ，f(5)2cos(5)2cos ，所以cos ，因为，0，所以cos ，sin ，所以cos cos sin sin .(3)f(x)2cos()，由2k2k，kZ，得10kx10k，kZ，所以单调递增区间为10k，10k(kZ).
