1、2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件明目标、知重点1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法1两向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)当ab时，有x1y2x2y10.(2)当ab且x2y20时，有.即两向量平行的条件是相应坐标成比例2若，则P与P1、P2三点共线当(0，)时，P位于线段P1P2的内部，特别地1时，P为线段P1P2的中点；当(，1)时，P位于线段P1P2的延长线上；当(1,0)时，P位于线段P1P2的反向延长线上情境导学前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运
2、算这就为解决问题提供了方便我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数使得ba，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示探究点一平面向量共线的坐标表示思考1设a(x1，y1)，b(x2，y2)，若向量a，b共线(其中b0)，则这两个向量的坐标应满足什么关系？请写出证明过程答这两个向量的坐标应满足x1y2x2y10；证明如下a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0.x2，y2不全为0，不妨假设x20.ab，存在实数，使ab，即(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)，x20.将代入y1y2得y1，即x1y2x2y10.思考2设向量a(x1，y1
3、)，b(x2，y2)，b0，如果x1y2x2y10，那么ab.请写出证明过程答b0，x2，y2不全为0，不妨假设x20，则由x1y2x2y10得y1y2.(x1，y1)(x2，y2)，令，则ab.所以ab.思考3如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？答当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向例如，向量(1,2)与(1，2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(1,2)与(3,6)同向；向量(1,0)与(3,0)反向等例1已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？解kabk
4、(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，kab与a3b平行，(k3)(4)10(2k2)0，解得k.此时kab(a3b)，当k时，kab与a3b平行，并且反向反思与感悟此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配跟踪训练1已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，3)判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解(0,4)(2,1)(2,3)，(5，3)(1,3)(4，6)方法一(2)(6)340，且(2)40)，即(x，y)(2,3)，又|2，x2y252.4
5、29252，2 (0)即(4,6)点B的坐标为(5,4)1下列各组的两个向量共线的是()Aa1(2,3)，b1(4,6)Ba2(1，2)，b2(7,14)Ca3(2,3)，b3(3,2)Da4(3,2)，b4(6，4)答案D解析，a4b4，故选D.2已知a(1,2)，b(2，y)，若ab，则y的值是()A1 B1 C4 D4答案D解析ab，(1)y220，y4.3若点A(1，1)，B(1,3)，C(x,5)三点共线，则使成立的实数的值为()A2 B0 C1 D2答案D解析(2,4)，(x1,2)，A，B，C三点共线，与共线，224(x1)0，x2，(1,2)2，2.故选D.4给定两个向量a(1
6、,2)，b(，1)，若a2b与2a2b共线，求的值解a2b(1,2)2(，1)(12，4)，2a2b2(1,2)2(，1)(22，2)，又a2b与2a2b共线，2(12)4(22)0，.呈重点、现规律1两个向量共线条件的表示方法已知a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)当b0，ab.(2)x1y2x2y10.(3)当x2y20时，即两向量的相应坐标成比例2向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行(2)已知两个向量共线，求
7、点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据一、基础过关1已知三点A(1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，则D点坐标是()A(1,0) B(1,0)C(1，1) D(1,1)答案C2已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)，则向量ab()A平行于x轴B平行于第一、三象限的角平分线C平行于y轴D平行于第二、四象限的角平分线答案C解析ab(0,1x2)，平行于y轴3若a(2cos ，1)，b(sin ，1)，且ab，则tan 等于()A2 B.C2 D答案A解析ab，2cos 1sin .tan 2.故选A.4已
8、知A、B、C三点在一条直线上，且A(3，6)，B(5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为()A13 B9C9 D13答案C解析设C点坐标(6，y)，则(8,8)，(3，y6)A、B、C三点共线，y9.5已知向量a(2x1,4)，b(2x,3)，若ab，则实数x的值等于_答案解析由ab得3(2x1)4(2x)，解得x.6已知点A(1，2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)且与向量a(1，)共线，则_.答案解析由题意得，点B的坐标为(321,122)(5,4)，则(4,6)又与a(1，)共线，则460，得.7已知a(1,0)，b(2,1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若2a
9、3b，amb且A，B，C三点共线，求m的值解(1)kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)kab与a2b共线，2(k2)(1)50，即2k450，得k.(2)A，B，C三点共线，R，即2a3b(amb)，解得m.二、能力提升8已知向量a(1,2)，b(0,1)，设uakb，v2ab，若uv，则实数k的值为()A1 B C. D1答案B解析u(1,2)k(0,1)(1,2k)，v(2,4)(0,1)(2,3)，又uv，132(2k)，得k.故选B.9平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在第二象限内，AOC，且OC2，若，则，的值是(
10、)A.，1 B1，C1， D，1答案D解析设C(x，y)，点C在第二象限，且AOC，OC2，xOCcos，yOCsin1，C(，1)，(，1)又，(，1)(1,0)(0,1)，即(，1)(，)，1.10设向量a(1,2)，b(2,3)若向量ab与向量c(4，7)共线，则_.答案2解析ab(2,23)，c(4，7)，2.11已知两点A(3，4)，B(9,2)在直线AB上，求一点P使|.解设点P的坐标为(x，y)，若点P在线段AB上，则，(x3，y4)(9x,2y)解得x1，y2，P(1，2)若点P在线段BA的延长线上，则，(x3，y4)(9x,2y)解得x7，y6，P(7，6)综上可得点P的坐标
11、为(1，2)或(7，6)12在AOB中，O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，AD与BC相交于点M，求点M的坐标解O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，(0,5)，(4,3)(0，)，点C的坐标为(0，)同理可得点D的坐标为(2，)设点M(x，y)，则(x，y5)，(20，5)(2，)A，M，D共线，与共线x2(y5)0，即7x4y20.而(x，y)，(40,3)(4，)，C，M，B共线，与共线x4(y)0，即7x16y20.联立解得x，y2.点M的坐标为(，2)三、探究与拓展13.如图所示，已知AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，AD与BC相交于点M，求点M的坐标解(0,5)，C(0，)(4,3)，D.设M(x，y)，则(x，y5)，.，x2(y5)0，即7x4y20.又，x40，即7x16y20.联立解得x，y2，故点M的坐标为.
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