1、第15讲 定积分与微积分基本定理 第15讲 定积分与微积分基本定理 1定积分的定义如果函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点 ax0 x1xi1xixnb 将区间a，b等分成 n 个小区间，在每个小区间xi1，xi内任取一点 i(i1,2,3，n)，作和式i1nf(i)xi1n ban f(i)，当 n时，该和式无限接近于_，这个常数叫做函数f(x)在 区 间 a，b 上 的 定 积 分，记 作ab f(x)dx.其 中 f(x)称 为_，x 称为_，f(x)dx 称为_，a 称为_，b 称为_知识梳理 第15讲 知识梳理 某个常数积分变量被积式积分下限积分上限被积函数第15讲 知识梳理 y
2、f(x)xa，xb和x轴ba F(b)F(a)2定积分的几何意义(1)几何意义：当f(x)0时，abf(x)dx表示的是_与_所围曲边梯形的面积(2)物理背景：当f(x)表示速度关于时间x的函数时，ab f(x)dx表示的是运动物体从xa到xb时所走过的路程3定积分的性质(1)ab1dx_；(2)abkf(x)dx_；(3)abf(x)g(x)dx_；(4)acf(x)dxcbf(x)dxabf(x)dx.4微积分基本定理如果F(x)f(x)，且f(x)在a，b上连续，则ab f(x)dx_，也可写作_，其中F(x)叫做f(x)的一个_kabf(x)dxabf(x)dxabg(x)dxF(x)
3、|ba 原函数要点探究 探究点1 利用微积分基本定理及定积分的性质求定积分第15讲 要点探究 例1 (1)计算下列定积分：122x21x dx_；30(sinxsin2x)dx_；12|32x|dx_；22cos2xdx_.思路 利用微积分基本定理求定积分，就是求出被积函数的一个原函数，然后再计算在相应区间上的函数值的差即可答案 143 ln2 14 12 2第15讲 要点探究 解答 因为函数 y2x21x的一个原函数是 y23x3ln x，所以122x21x dx23x3ln x21163 ln 223143 ln 2.函数 ysinxsin2x 的一个原函数是 ycosx12cos2x，所
4、以30(sinxsin2x)dxcosx12cos2x 301214 112 14.12|32x|dx321|32x|dx232|32x|dx321(32x)dx232(2x3)dx3212(3)x x2322(3)xx12.222cosdxx221 cos2 dx2xx214sin2x|222.第15讲 要点探究 解析答案第15讲 要点探究 点评 利用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的一个原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数互为逆运算，因此要注意掌握一些常见函数的导数，在求稍微复杂的定积分时要注意被积函数的变形转化把定积分融入方程或不等式已成为近几年考试的热点 探究点2 利
5、用定积分的几何意义求定积分第15讲 要点探究 例2 求定积分01(1x12x)dx的值思路 画出被积函数的图象，求出对应图形的面积，由定积分的几何意义便可求出积分值解答01(1x12x)dx表示圆(x1)2y21(y0)的一部分与直线yx所围成的弓形(如图所示)的面积，因此01(1x12 x)dx1241211412.第15讲 要点探究 点评 本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦，由01(1x12x)dx 联想到圆(x1)2y21(y0)的一部分与直线 yx，再联想到定积分的几何意义，用曲边梯形面积的代数和的方法求定积分，从而简化了运算，也体现了数形结合思想的重要作用运用定积分
6、的几何意义计算定积分，需要具备较强的观察能力、分析能力和逻辑推理能力 探究点3 定积分在求图形面积方面的应用第15讲 要点探究 解析 由题知 f(x)3x22axb，f(0)0，b0，f(x)x3ax2，令 f(x)0，得 x0 或 xa(a0)S 阴影a0(x3ax2)dx 112a4 112，a1.例 32010福州模拟 已知函数 f(x)x3ax2bx(a，bR)的图象如图 151所示，它与 x 轴在原点处相切，且 x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为 112，则 a 的值为_答案1图151 探究点4 定积分在物理方面的应用第15讲 要点探究 例4 2010福州模拟 一辆汽车
7、的速度时间曲线如图152所示，求该汽车在这一分钟内行驶的路程图152 思路 本题考查定积分在物理中的应用，可以先根据图象求出速度关于时间的函数解析式，再利用定积分求出路程第15讲 要点探究 解答 从该汽车的速度时间曲线可以看出，该汽车作变速运动，其速度时间的函数关系如下：vv(t)32t，0t20，50t，20t40，10，40t60，所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为：s 600 v(t)dt 20032tdt 204050t dt 406010dt 34t2 20050t12t24020 10t 6040 900(米)第15讲 要点探究 点评 用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物
8、理问题转化为数学问题是关键变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案，由于函数是分段函数，所以运算过程可能稍微复杂些，因此在运算过程中一定要细心，不要出现计算上的错误，利用定积分还能解决变力做功的问题规律总结 第15讲 规律总结 1求定积分的方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强；(2)利用微积分基本定理求定积分；(3)利用定积分的几何意义求定积分2计算01f(x)dx 的关键是找到满足 F(x)f(x)的函数 F(x)其中 F(x)可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到当被积函数含有绝对值(或平方根)时，需按绝
9、对值内的正、负号将定积分区间分段，然后按区间的可加性逐段积分；同样，当被积函数为分段函数时，也需按函数定义的分段情形相应的逐段积分3利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：(1)画出函数的草图，确定积分变量；(2)求图象的交点，确定积分上、下限；(3)将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和；(4)利用定积分求面积第3讲 规律总结 3(1)一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：另外：p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.(2)含量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，即把全称量词与存在量词互换，然后否定原命题的结论，对于某些省略了量词的命题，可以在理解命题的基础上，添上量词，再按规律写命题的否定