1、第三部分 增分篇 策略一 活用4大数学思想3.分类与整合思想分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略，对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合.应用 1 由概念、法则、公式引起的分类讨论【典例 1】等比数列an的前 n 项和为 Sn，若对任意的正整数n，Sn24Sn3 恒成立，则 a1 的值为()A3 B1C3 或 1 D1 或 3C 设等比数列an的公比为 q，当 q1 时
2、，Sn2(n2)a1，Snna1，由 Sn24Sn3 得，(n2)a14na13，即 3a1n2a13，若对任意的正整数 n,3a1n2a13 恒成立，则 a10 且 2a130，矛盾，所以 q1，所以 Sna11qn1q，Sn2a11qn21q，代入 Sn24Sn3 并化简得 a1(4q2)qn33a13q，若对任意的正整数 n 该等式恒成立，则有4q20，33a13q0，解得a11，q2或a13，q2，故 a11 或3.本题易忽略对 q1 的情况进行讨论，而直接利用Sna11qn1q，很容易造成漏解或增解，若本题是解答题，这种解答是不完备的.本题根据等比数列前 n 项和公式的使用就要分 q
3、1，Snna1 和 q1，Sna11qn1q进行讨论.(，2)(6，)当 B时，有 m12m1，则 m2.当 B时，有m12m1，2m13或m12m1，m17，解得 m6.综上可知，实数 m 的取值范围是(，2)(6，)【对点训练 1】(2019武汉模拟)已知集合 Ax|x3 或 x7，Bx|m1x2m1，若 BA，则实数 m 的取值范围是_【对点训练 2】一条直线过点(5,2)，且在 x 轴，y 轴上截距相等，则这条直线的方程为()Axy70B2x5y0Cxy70 或 2x5y0Dxy70 或 2y5x0C 设该直线在 x 轴，y 轴上的截距均为 a，当 a0 时，直线过原点，此时直线方程为
4、 y25x，即 2x5y0；当 a0 时，设直线方程为xaya1，则求得 a7，直线方程为 xy70.应用 2 由运算、性质引起的分类讨论【典例 2】已知 a，b0 且 a1，b1，若 logab1，则()A(a1)(b1)0 B(a1)(ab)0C(b1)(ba)0 D(b1)(ba)0D a，b0 且 a1，b1，当 a1，即 a10 时，不等式 logab1 可化为 alogaba1，即 ba1，(a1)(ab)0，(a1)(b1)0，(b1)(ba)0.当 0a1 时，即 a10 时，不等式 logab1 可化为 alogaba1，即 0ba1，(a1)(ab)0，(a1)(b1)0，
5、(b1)(ba)0.综上可知，选 D.应用指数、对数函数时，往往对底数是否大于 1 进行讨论，这是由它的性质决定的.在处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一.32 当 a1 时，函数 f(x)axb 在1,0上为增函数，由题意得a1b1，a0b0无解当 0a1 时，函数 f(x)axb 在1,0上为减函数，由题意得a1b0，a0b1，解得a12，b2，所以 ab32.【对点训练 3】已知函数 f(x)axb(a0，a1)的定义域和值域都是1,0，则 ab_.【对点训练 4】在ABC 中，角 A，B，C 所对的边
6、分别为 a，b，c，已知 cos 2C14.(1)求 sin C 的值；(2)当 a2,2sin Asin C 时，求 b 及 c 的长解(1)由 cos 2C12sin2C，得 sin C 104.(2)由 2sin Asin C，得 2ac，所以 c4.由 sin C 104，得 cos C 64.下面分两种情况：当 cos C 64 时，由余弦定理 c2a2b22abcos C 得 b2 6b120，解得 b2 6.当 cos C 64 时，同理可得 b 6.综上 c4，b2 6或 b 6.应用 3 由图形位置或形状分类讨论【典例 3】设 F1，F2 为椭圆x29y241 的两个焦点，P
7、 为椭圆上一点已知 P，F1，F2 是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，求|PF1|PF2|的值解 若PF2F190.则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，又|PF1|PF2|6，|F1F2|2 5，解得|PF1|143，|PF2|43，|PF1|PF2|72.若F1PF290，则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2.|PF1|2(6|PF1|)220，|PF1|4，|PF2|2，|PF1|PF2|2.综上知，|PF1|PF2|72或 2.1本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需要按直角顶点不同的位置进行讨论.2破解此类题的关键点：确定特征，一般在确立初步特征时将能确定
8、的所有位置先确定.分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类.得结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理.D 当矩形长、宽分别为 6 和 4 时，体积 V2 31244 3；当长、宽分别为 4 和 6 时，体积 V432 33 1268 33.【对点训练 5】正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 6 和 4 的矩形，则它的体积为()A.8 33B4 3C.2 39D4 3或8 33【对点训练 6】过双曲线 x2y221 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A，B 两点，若|AB|4，则这样的直线 l 有()A1 条B2 条C3 条D4 条C 因为双曲线的两个顶点之间的距离是 2，小于 4
9、，所以当直线 l 与双曲线左、右两支各有一个交点时，过双曲线的右焦点一定有两条直线满足条件要求；当直线 l 与实轴垂直时，有 3y221，解得 y2 或 y2，所以此时直线 AB 的长度是 4，即只与双曲线右支有两个交点的所截弦长为 4 的直线仅有一条 综上，可知有 3 条直线满足|AB|4.【对点训练 7】已知变量 x，y 满足的不等式组x0，y2x，kxy10表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数 k()A12B12C0 D0 或12D 不等式组x0，y2x，kxy10表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组x0，y2x，kxy10表示的平面区域是直角三角形，只有当
10、直线 ykx1 与直线 x0 或 y2x 垂直时才满足结合图形可知斜率 k 的值为 0 或12.应用 4 由参数变化引起的分类讨论【典例 4】设函数 f(x)x3axb，xR，其中 a，bR，求f(x)的单调区间解 由 f(x)x3axb，可得 f(x)3x2a.下面分两种情况讨论：当 a0 时，有 f(x)3x2a0 恒成立，所以 f(x)的单调递增区间为(，)当 a0 时，令 f(x)0，解得 x 3a3 或 x 3a3.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x，3a3 3a3 3a3，3a33a33a3，f(x)00 f(x)单调递增极大值单调递减极小值 单调递增所以 f(
11、x)的单调递减区间为 3a3，3a3，单调递增区间为，3a3，3a3，.1本题研究函数性质对参数 a 进行分类讨论，分为 a0 和 a0两种情况.2若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏.【对点训练 8】设函数 f(x)x2axa3，g(x)ax2a，若存在 x0R，使得 f(x0)0 和 g(x0)0 同时成立，则实数 a 的取值范围为()A(7，)B(，2)(6，)C(，2)D(，2)(7，)A 由 f(x)x2axa3
12、，知 f(0)a3，f(1)4.又存在 x0R，使得 f(x0)0，所以 a24(a3)0，解得 a2 或 a6.又 g(x)ax2a 的图象恒过(2,0)，故当 a6 时，作出函数 f(x)和 g(x)的图象如图 1 所示，当 a2 时，作出函数 f(x)和 g(x)的图象如图 2 所示 图 1 图 2由函数的图象知，当 a6 时，若 g(x0)0，则 x02，要使 f(x0)0，则需a6，f20，解得 a7.当 a2 时，若 g(x0)0，则 x02，此时函数 f(x)x2axa3 的图象的对称轴 xa20，故函数 f(x)在区间a2，上为增函数，又 f(1)4，f(x0)0 不成立 综上
13、，实数 a 的取值范围为(7，)【对点训练 9】设函数 f(x)ax2(4a1)x4a3ex.(1)若曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与 x 轴平行，求 a；(2)若 f(x)在 x2 处取得极小值，求 a 的取值范围解(1)因为 f(x)ax2(4a1)x4a3ex，所以 f(x)ax2(2a1)x2ex.所以 f(1)(1a)e.由题设知 f(1)0，即(1a)e0，解得 a1.此时 f(1)3e0.所以 a 的值为 1.(2)由(1)得 f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若 a12，则当 x1a，2 时，f(x)0；当 x(2，)时，f(x)0.所以 f(x)在 x2 处取得极小值 若 a12，则当 x(0,2)时，x20，ax112x10，所以 f(x)0.所以 2 不是 f(x)的极小值点 综上可知，a 的取值范围是12，.Thank you for watching!
